Verificar se S é um subespaço de \mathbb{R}^{3} (utilize a adição e a multiplicação por escalar usual)
S=\{(x, 2 x, 3 x) \mid x \geq 0\}

Passo 1

O enunciado define
S = \{(x,2x,3x)\mid x\ge0\}\subseteq\mathbb{R}^3
e pede para verificar se S é subespaço de \mathbb{R}^3.
Lembrando que um subconjunto W de um espaço vetorial V é subespaço se e somente se:
  1. O vetor zero está em W.
  2. W é fechado sob adição: para quaisquer u,v\in W, u+v\in W.
  3. W é fechado sob multiplicação por escalar: para qualquer u\in W e qualquer \lambda\in\mathbb{R}, \lambda u\in W.

Passo 2

Verificamos se o vetor zero está em S.
Escolhendo x=0 obtemos (0,2\cdot0,3\cdot0)=(0,0,0).
Logo, \mathbf{0}=(0,0,0)\in S.

Passo 3

Verificamos a fechamento por adição.
Tomemos
u=(x_1,2x_1,3x_1),\quad v=(x_2,2x_2,3x_2)
com x_1\ge0 e x_2\ge0. Então
u+v=(x_1+x_2,\,2(x_1+x_2),\,3(x_1+x_2)).
Como x_1+x_2\ge0, segue que u+v\in S.

Passo 4

Verificamos o fechamento por multiplicação por escalar.
Seja u=(x,2x,3x)\in S com x\ge0 e seja \lambda\in\mathbb{R}.
Então
\lambda u=(\lambda x,\,2\lambda x,\,3\lambda x).
Para \lambda u estar em S precisamos ter \lambda x\ge0.
Porém, se \lambda<0 e x>0, então \lambda x<0, logo \lambda u\notin S.

Passo 5

Concluímos que S não é fechado sob multiplicação por escalar (não vale para \lambda<0).

Resposta

S não é subespaço de \mathbb{R}^3.

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