Verificar se
é um subespaço de
(utilize a adição e a multiplicação por escalar usual)
Passo 1
O enunciado define
e pede para verificar se
é subespaço de
.
Lembrando que um subconjunto de um espaço vetorial
é subespaço se e somente se:
Lembrando que um subconjunto
- O vetor zero está em
. -
é fechado sob adição: para quaisquer , . -
é fechado sob multiplicação por escalar: para qualquer e qualquer , .
Passo 2
Verificamos se o vetor zero está em
.
Escolhendo obtemos
.
Logo, .
Escolhendo
Logo,
Passo 3
Verificamos a fechamento por adição.
Tomemos
Tomemos
com
e
. Então
Como
, segue que
.
Passo 4
Verificamos o fechamento por multiplicação por escalar.
Seja com
e seja
.
Então
Seja
Então
Para
estar em
precisamos ter
.
Porém, se e
, então
, logo
.
Porém, se
Passo 5
Concluímos que
não é fechado sob multiplicação por escalar (não vale para
).