Pergunta 8 (1 ponto)
GE-IAL-UN4-A3-QME-01
As transformações lineares se relacionam com os vetores e espaços vetoriais que são compostos em diferentes dimensões. Desta forma, é importante perceber de que modo estes vetores se articulam para criar diferentes combinações.
Deste modo, a partir do conteúdo apresentado pelo texto-base, avalie as seguintes afirmações:
I. Uma combinação linear é um processo que ocorre em espaços vetoriais de dimensão finita.
II. As transformações lineares são operadas somente em espaços com dimensões iguais em
.
III. As combinações lineares são desenvolvidas a partir de bases inscritas em espaços vetoriais.
I. Uma combinação linear é um processo que ocorre em espaços vetoriais de dimensão finita.
II. As transformações lineares são operadas somente em espaços com dimensões iguais em
III. As combinações lineares são desenvolvidas a partir de bases inscritas em espaços vetoriais.
Passo 1
O enunciado pede para avaliar a veracidade das três afirmações sobre combinação linear e transformações lineares em espaços vetoriais. O conteúdo principal envolve definição de combinação linear, dimensão de espaços vetoriais e aplicação de transformações lineares entre espaços possivelmente de diferentes dimensões.
Passo 2
Analisando a afirmação I: “Uma combinação linear é um processo que ocorre em espaços vetoriais de dimensão finita.”
Uma combinação linear de um conjunto de vetores sempre usa um número finito de vetores, mas isso não exige que o espaço seja de dimensão finita. Em espaços vetoriais de dimensão infinita também podemos formar combinações lineares, pois a soma e a multiplicação por escalar são operações bem definidas.
Portanto, a afirmação I é falsa.
Uma combinação linear de um conjunto de vetores sempre usa um número finito de vetores, mas isso não exige que o espaço seja de dimensão finita. Em espaços vetoriais de dimensão infinita também podemos formar combinações lineares, pois a soma e a multiplicação por escalar são operações bem definidas.
Portanto, a afirmação I é falsa.
Passo 3
Analisando a afirmação II: “As transformações lineares são operadas somente em espaços com dimensões iguais em
.”
Transformações lineares são aplicações entre espaços vetoriais que respeitam soma e multiplicação por escalar, mas não exigem que os espaços de partida e chegada tenham a mesma dimensão. Por exemplo, uma aplicação de em
ou de
em
pode ser linear sem problema.
Logo, a afirmação II é falsa.
Transformações lineares são aplicações entre espaços vetoriais que respeitam soma e multiplicação por escalar, mas não exigem que os espaços de partida e chegada tenham a mesma dimensão. Por exemplo, uma aplicação de
Logo, a afirmação II é falsa.
Passo 4
Analisando a afirmação III: “As combinações lineares são desenvolvidas a partir de bases inscritas em espaços vetoriais.”
Combinações lineares podem ser formadas a partir de qualquer conjunto de vetores, não apenas de uma base. A base apenas garante que todo vetor possa ser expresso de forma única, mas a definição de combinação linear não depende de o conjunto ser base, mas apenas de vetores quaisquer no espaço.
Dessa forma, a afirmação III também é falsa.
Combinações lineares podem ser formadas a partir de qualquer conjunto de vetores, não apenas de uma base. A base apenas garante que todo vetor possa ser expresso de forma única, mas a definição de combinação linear não depende de o conjunto ser base, mas apenas de vetores quaisquer no espaço.
Dessa forma, a afirmação III também é falsa.
Resposta
Nenhuma das afirmações (I, II e III) é verdadeira.