a) (Desigualdade de Bernoulli) Prove que para todo número real
e todo
, tem-se
.
b) Mostre que
fixo,
.
b) Mostre que
Passo 1
O enunciado pede para demonstrar duas desigualdades envolvendo potências de
:
– Na parte (a), mostrar que para todo e todo
vale
– Na parte (a), mostrar que para todo
– Na parte (b), provar que, além disso, sempre que
e
temos
O método escolhido para ambas as demonstrações será indução em
.
Passo 2
Prova da parte (a) – desigualdade de Bernoulli por indução
Base :
Base
é verdadeiro com igualdade.
Passo indutivo: suponha que para algum valha
Passo indutivo: suponha que para algum
Como
implica
, podemos multiplicar ambos os lados por
sem mudar o sentido da desigualdade:
onde usamos
. Assim, a desigualdade segue para
. Por indução, vale para todo
.
Passo 3
Prova da parte (b) – desigualdade estrita para expoente par
- Caso
: então e , logo . - Para
ou , note que .
Base:
porque
quando
.
Passo indutivo: suponha que
Passo indutivo: suponha que
Multiplicando por
obtém‐se
Assim a desigualdade estrita se mantém para
. Por indução, vale para todo
.
Resposta
(a) Para todo
e todo
,
(b) Para todo
(com
) e todo
,