a) (Desigualdade de Bernoulli) Prove que para todo número real x \geq-1 e todo n \in \mathbb{N}, tem-se (1+x)^{n} \geq 1+n x.
b) Mostre que (1+x)^{2 n}>1+2 n x, \forall x \neq 0 fixo, \forall n \in \mathbb{N}.

Passo 1

O enunciado pede para demonstrar duas desigualdades envolvendo potências de 1+x:
– Na parte (a), mostrar que para todo x\ge -1 e todo n\in\mathbb{N} vale
(1+x)^{n}\ge1+n x.
– Na parte (b), provar que, além disso, sempre que x\neq0 e n\in\mathbb{N} temos
(1+x)^{2n}>1+2n x.
O método escolhido para ambas as demonstrações será indução em n.

Passo 2

Prova da parte (a) – desigualdade de Bernoulli por indução
Base n=1:
(1+x)^{1}=1+x\ge1+1\cdot x
é verdadeiro com igualdade.
Passo indutivo: suponha que para algum n\ge1 valha
(1+x)^{n}\ge1+n x.
Como x\ge-1 implica 1+x\ge0, podemos multiplicar ambos os lados por 1+x sem mudar o sentido da desigualdade:
(1+x)^{n+1} = (1+x)\,(1+x)^{n}\ge(1+x)\,(1+n x)=1+(n+1)x + n x^{2}\ge1+(n+1)x,
onde usamos n x^{2}\ge0. Assim, a desigualdade segue para n+1. Por indução, vale para todo n\in\mathbb{N}.

Passo 3

Prova da parte (b) – desigualdade estrita para expoente par
  1. Caso x=-1: então (1+x)^{2n}=0 e 1+2n x=1-2n<0, logo 0>1-2n.
  2. Para -1<x<0 ou x>0, note que (1+x)^{2}>0.
    Base n=1:
(1+x)^{2}=1+2x+x^{2}>1+2x
porque x^{2}>0 quando x\neq0.
Passo indutivo: suponha que
(1+x)^{2n}>1+2n x.
Multiplicando por (1+x)^{2}>0 obtém‐se
(1+x)^{2(n+1)}=(1+x)^{2n}(1+x)^{2}>(1+2n x)(1+2x) =1+2(n+1)x +2n x^{2}>1+2(n+1)x.
Assim a desigualdade estrita se mantém para n+1. Por indução, vale para todo n\in\mathbb{N}.

Resposta

(a) Para todo x\ge-1 e todo n\in\mathbb{N},
(1+x)^{n}\ge1+n x.
(b) Para todo x\neq0 (com x\ge-1) e todo n\in\mathbb{N},
(1+x)^{2n}>1+2n x.

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