Mostre, utilizando indução, as seguintes afirmações:
(a-1)\left(1+a+\cdots+a^{n}\right)=a^{n+1}-1; para a \in \mathbb{N} fixo e \forall n \in \mathbb{N}.

Passo 1

O enunciado pede para provar, por indução em n, que para todo n\in\mathbb{N} e fixo a\in\mathbb{N} vale
(a-1)\bigl(1 + a + a^2 + \cdots + a^n\bigr) = a^{n+1} - 1.
O método será o princípio da indução: mostramos a base n=0 e depois o passo indutivo de n=k para n=k+1.

Passo 2

(Base da indução) Para n=0 a soma telescópica é só 1, então o lado esquerdo é
(a-1)\bigl(1\bigr)=a-1,
e o lado direito é
a^{0+1}-1 = a-1.
Logo a fórmula vale para n=0.

Passo 3

(Hipótese de indução) Suponha que para algum k\ge0 já esteja provado que
(a-1)\bigl(1 + a + \cdots + a^k\bigr) = a^{k+1}-1.

Passo 4

(Passo indutivo) Considere n=k+1. Então
1 + a + \cdots + a^{k+1} = \bigl(1 + a + \cdots + a^k\bigr) + a^{k+1}.
Multiplicando por a-1, temos
(a-1)\bigl(1 + \cdots + a^{k+1}\bigr) = (a-1)\bigl(1 + \cdots + a^k\bigr) + (a-1)\,a^{k+1}.
Pela hipótese de indução o primeiro termo vira a^{k+1}-1, então
(a-1)\bigl(1 + \cdots + a^{k+1}\bigr) = \bigl(a^{k+1}-1\bigr) + \bigl(a-1\bigr)a^{k+1} = a^{k+1}-1 + a^{k+2}-a^{k+1} = a^{k+2}-1.
Isso mostra exatamente que a fórmula vale para n=k+1.

Resposta

Portanto, por indução, fica demonstrado que para todo n\in\mathbb{N} e a\in\mathbb{N} fixo
(a-1)\bigl(1 + a + \cdots + a^n\bigr) = a^{n+1} - 1.

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