Mostre, utilizando indução, as seguintes afirmações:
; para
fixo e
.
Passo 1
O enunciado pede para provar, por indução em
, que para todo
e fixo
vale
O método será o princípio da indução: mostramos a base
e depois o passo indutivo de
para
.
Passo 2
(Base da indução) Para
a soma telescópica é só
, então o lado esquerdo é
e o lado direito é
Logo a fórmula vale para
.
Passo 3
(Hipótese de indução) Suponha que para algum
já esteja provado que
Passo 4
(Passo indutivo) Considere
. Então
Multiplicando por
, temos
Pela hipótese de indução o primeiro termo vira
, então
Isso mostra exatamente que a fórmula vale para
.
Resposta
Portanto, por indução, fica demonstrado que para todo
e
fixo