Prove que:
\max \{x, y\}=\frac{x+y+|x-y|}{2};

Passo 1

O enunciado pede para provar a identidade envolvendo o máximo de dois números reais x e y:
\max\{x,y\} = \frac{x+y+\lvert x-y\rvert}{2}.
O conteúdo que vamos usar é a definição de \max\{x,y\} por casos e a propriedade do valor absoluto:
\lvert x-y\rvert = \begin{cases} x-y, & \text{se }x\ge y,\\\ y-x, & \text{se }x<y. \end{cases}

Passo 2

Suponha primeiro que x\ge y. Nesse caso \lvert x-y\rvert = x-y. Então o lado direito da identidade fica
\frac{x+y+\lvert x-y\rvert}{2} = \frac{x+y+(x-y)}{2} = \frac{2x}{2} = x.
Como x\ge y, temos \max\{x,y\}=x, e o lado direito também deu x. Logo a fórmula vale quando x\ge y.

Passo 3

Agora suponha que x<y. Nesse caso \lvert x-y\rvert = y-x. O lado direito torna-se
\frac{x+y+\lvert x-y\rvert}{2} = \frac{x+y+(y-x)}{2} = \frac{2y}{2} = y.
Como y>x, temos \max\{x,y\}=y, e o lado direito também deu y. Logo a fórmula vale quando x<y.

Passo 4

Em ambos os casos— x\ge y ou x<y—o valor de \frac{x+y+\lvert x-y\rvert}{2} coincide com \max\{x,y\}. Portanto a identidade está provada.

Resposta

\max\{x,y\} = \frac{x+y+\lvert x-y\rvert}{2}.

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