Questão 31 Calcule a integral dupla \square D \sqrt{ } y \cos (\sqrt{ } y x) dy dx, onde D é a região acima da parábola P: y=x^{2}, delimitada pelas retas x=0 e y=\pi / 2, no primeiro quadrante.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
I = \iint_{D} \sqrt{y}\,\cos\bigl(\sqrt{y}\,x\bigr)\,dy\,dx
onde D é a região no primeiro quadrante acima da parábola y=x^{2}, limitada pela reta x=0 e pela reta y=\pi/2. O conteúdo central aqui é troca de ordem de integração para simplificar o cálculo.

Passo 2

Para descrever D em termos de y primeiro: como y varia de 0 até \pi/2 e, para cada y, x vai de 0 até \sqrt{y}, temos
I = \int_{y=0}^{\pi/2}\;\int_{x=0}^{\sqrt{y}} \sqrt{y}\,\cos\bigl(\sqrt{y}\,x\bigr)\,dx\,dy.

Passo 3

Calculemos a integral interna em x:
\int_{x=0}^{\sqrt{y}} \sqrt{y}\,\cos\bigl(\sqrt{y}\,x\bigr)\,dx.
Fazemos a substituição t = \sqrt{y}\,x, logo dt = \sqrt{y}\,dx. Quando x=0, t=0; quando x=\sqrt{y}, t=y. Assim
\int_{0}^{\sqrt{y}} \sqrt{y}\,\cos\bigl(\sqrt{y}\,x\bigr)\,dx = \int_{t=0}^{y} \cos(t)\,dt.

Passo 4

Essa integral é imediata:
\int_{0}^{y}\cos(t)\,dt = \sin(y).
Portanto
I = \int_{0}^{\pi/2} \sin(y)\,dy.

Passo 5

Agora calculemos
\int_{0}^{\pi/2}\sin(y)\,dy = \bigl[-\cos(y)\bigr]_{0}^{\pi/2} = -\cos\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr) + \cos(0) = 1.

Resposta

1

Exercícios relacionados