Mostre que 0 é o ínfimo dos conjuntos
e
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrarmos que
é o ínfimo (ou seja, o maior limite inferior) dos conjuntos
e
. Para isso vamos usar a definição de limite inferior: um número
é limite inferior de um conjunto
se, para todo
, vale
. E é ínfimo se além de ser limite inferior, nenhum outro maior que ele ainda o é.
Passo 2
Mostrando que
é limite inferior de
: por definição de
, todo
satisfaz
. Logo,
é um limite inferior de
.
Passo 3
Mostrando que nenhum número maior que
é limite inferior de
: seja
.
- Se
, então satisfaz e . - Se
, então satisfaz e .
Em ambos os casos existecom , logo não pode ser limite inferior. Assim, todo limite inferior de é , e como já é limite inferior, concluímos que .
Passo 4
Mostrando que
é limite inferior de
: por definição de
, todo
satisfaz
, isto é,
. Logo,
é um limite inferior de
.
Passo 5
Mostrando que nenhum número maior que
é limite inferior de
: seja
.
- Se
, então satisfaz e . - Se
, então satisfaz e .
Em ambos os casos existecom , logo não é limite inferior. Assim, todo limite inferior de é , e como já é limite inferior, concluímos que .