Mostre que 0 é o ínfimo dos conjuntos A=[0,1] e B=(0,1).

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que 0 é o ínfimo (ou seja, o maior limite inferior) dos conjuntos A=[0,1] e B=(0,1). Para isso vamos usar a definição de limite inferior: um número c é limite inferior de um conjunto S se, para todo x\in S, vale c\le x. E é ínfimo se além de ser limite inferior, nenhum outro maior que ele ainda o é.

Passo 2

Mostrando que 0 é limite inferior de A: por definição de A, todo x\in A satisfaz 0\le x. Logo, 0 é um limite inferior de A.

Passo 3

Mostrando que nenhum número maior que 0 é limite inferior de A: seja c>0.
  • Se c\le1, então x=c/2 satisfaz 0<x<c e x\in A.
  • Se c>1, então x=1 satisfaz 0<x<c e x\in A.
    Em ambos os casos existe x\in A com x<c, logo c não pode ser limite inferior. Assim, todo limite inferior de A é \le0, e como 0 já é limite inferior, concluímos que \inf A=0.

Passo 4

Mostrando que 0 é limite inferior de B: por definição de B, todo x\in B satisfaz x>0, isto é, 0\le x. Logo, 0 é um limite inferior de B.

Passo 5

Mostrando que nenhum número maior que 0 é limite inferior de B: seja c>0.
  • Se c\le1, então x=c/2 satisfaz 0<x<c e x\in B.
  • Se c>1, então x=1/2 satisfaz 0<x<c e x\in B.
    Em ambos os casos existe x\in B com x<c, logo c não é limite inferior. Assim, todo limite inferior de B é \le0, e como 0 já é limite inferior, concluímos que \inf B=0.

Resposta

\inf A = 0 e \inf B = 0.

Exercícios relacionados