Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
lim (x, y) (0,0) x^2+yy

Passo 1

O enunciado pede o limite
lim(x,y)to(0,0) x^2+yy
O conteúdo aqui é limite de função de duas variáveis. Como a expressão envolve divisão por y, precisamos verificar se o valor do quociente depende da trajetória pela qual (x,y) se aproxima de (0,0). Se dependender, o limite não existe.

Passo 2

Vamos primeiro aproximar por uma reta genérica y=m x, com mneq0. Substituindo y= m x em x^2+yy temos
x^2+m xm x = x(x+m)m x = x+mm = xm + mm = xm + 1
Quando xto0, isso tende a
1

Passo 3

Agora aproximemos por uma parábola y=k x^2, com kneq0. Substituindo y=k x^2 em x^2+yy
x^2+k x^2k x^2 = (1+k)x^2k x^2 = 1+kk = 1 + 1k
Esse valor depende de k. Por exemplo, se k=1 o limite ao longo dessa curva é 1+1/1=2, e se k=2 é 1+1/2=3/2.

Passo 4

Como diferentes trajetórias dão resultados distintos (na reta deu sempre 1, na parábola deu 2 ou 3/2 etc.), o limite não é único.

Resposta

O limite não existe.

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