Sabe-se que o campo F(x, y)=(e^x+y+1) imath+(e^x+y) J é um campo conservativo em R^2.
Encontre uma função potencial para F.

Passo 1

O enunciado pede para achar uma função potencial f(x,y) de um campo conservativo F(x,y)=(e^x+y+1),i+e^x+y,j. O conteúdo aqui é encontrar uma primitiva de um campo gradiente, ou seja, uma função f tal que nabla f=F. Para resolver, vamos usar integração parcial e comparar derivadas parciais.

Passo 2

Como primeiro passo da resolução, igualamos a derivada parcial de f em relação a x ao componente i de F:
partial fpartial x(x,y)=e^x+y+1
Integrando essa expressão em relação a x, temos
$$
f(x,y)=\int(e{x+y}+1),dx=e{x+y}+x+C(y),$$
onde f(x,y)=integral(e^x+y+1),dx=e^x+y+x+C(y), é uma função arbitrária de y.

Passo 3

Agora precisamos determinar C(y). Para isso, calculamos a derivada parcial de f em relação a y e igualamos ao componente j de F:
partial fpartial y(x,y)=e^x+y+C'(y)
e deve valer
partial fpartial y(x,y)=e^x+y
Isso implica que C'(y)=0, logo C(y) é constante.

Passo 4

Como a constante não altera o gradiente, podemos tomá-la igual a zero. Portanto, uma função potencial para F é
final_answer
f(x,y)=e^{x+y}+x

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