Sabe-se que o campo
é um campo conservativo em
.
Encontre uma função potencial para
.
Encontre uma função potencial para
Passo 1
O enunciado pede para achar uma função potencial f(x,y) de um campo conservativo
. O conteúdo aqui é encontrar uma primitiva de um campo gradiente, ou seja, uma função f tal que
. Para resolver, vamos usar integração parcial e comparar derivadas parciais.
Passo 2
Como primeiro passo da resolução, igualamos a derivada parcial de f em relação a x ao componente i de
:
Integrando essa expressão em relação a x, temos
$$
f(x,y)=\int(e{x+y}+1),dx=e{x+y}+x+C(y),$$
onde
é uma função arbitrária de y.
Passo 3
Agora precisamos determinar
. Para isso, calculamos a derivada parcial de f em relação a y e igualamos ao componente j de
:
e deve valer
Isso implica que
, logo
é constante.
Passo 4
Como a constante não altera o gradiente, podemos tomá-la igual a zero. Portanto, uma função potencial para
é
final_answer
f(x,y)=e^{x+y}+x
final_answer
f(x,y)=e^{x+y}+x