1. Quando se desliga o motor de uma lancha, ela sofre uma aceleração no sentido oposto ao da velocidade e diretamente proporcional ao quadrado dessa velocidade. Seja k a constante de proporcionalidade.
    a) Mostrar que a velocidade no instante t depois de desligar o motor da lancha é dada por: 1v=1vo+k t;
    b) Mostrar que a distância percorrida em um tempo t é: t=0, x=0, se em x;
    c) Mostrar que a velocidade, depois de percorrer uma distância v=vo e^-k x é: .

Passo 1

O enunciado nos dá que, após desligar o motor, a desaceleração da lancha é proporcional ao quadrado da velocidade, ou seja, satisfy a equação diferencial separável. Vamos resolver três itens: achar a velocidade em função do tempo v(t), a distância percorrida x(t) e, por fim, a velocidade em função da distância v(x).

Passo 2

Começamos pelo item (a). A equação diferencial é
dvdt = -k,v^2
É uma ODE separável. Separamos variáveis:
dvv^2 = -k,dt
Integramos de t=0 (v=v₀) até t e v:
integralv0^v duu^2 = integral0^t -k,dtau
O lado esquerdo dá
l[-1ur]v0^v = -1v + 1v0
e o direito é -k t. Igualando,
-1v + 1v0 = -k t
Rearranjando,
1v = 1v0 + k t
Isso resolve o item (a).

Passo 3

Para o item (b), usamos x(t)=∫₀ᵗ v(τ) dτ. Como de (a) temos
v(τ)=11v0+k τ=v01+v0 k τ
fazemos
x(t)=integral0^tv01+v0 k tau,dtau
Fazendo a troca de variável w=1+v₀kτ, dw=v₀k dτ, obtemos
x(t)=1kintegral1^1+v0 k tdww=1kl[ln wr]1^1+v0 k t=1klnl(1+v0 k tr)
Isso dá o resultado do item (b).

Passo 4

No item © queremos v em função de x. Note que
dv/dx=\frac{dv/dt}{dx/dt}=\frac{-k v^2}{v}=-k v.
É outra ODE separável:
dvv=-k,dx
Integramos de x=0 (v=v₀) até x (v):
integralv0^vduu=integral0^x-k,dxi
Logo
lnvv0=-k x
e, exponenciando,
v=v0 e^-k x

Resposta

Parte (a): 1/v=1/v0+k t;
Parte (b): x=1kln(1+v0 k t);
Parte ©: v=v0e^-k x.

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