- Quando se desliga o motor de uma lancha, ela sofre uma aceleração no sentido oposto ao da velocidade e diretamente proporcional ao quadrado dessa velocidade. Seja
a constante de proporcionalidade.
a) Mostrar que a velocidade no instante
depois de desligar o motor da lancha é dada por:
;
b) Mostrar que a distância percorrida em um tempo
é:
, se em
;
c) Mostrar que a velocidade, depois de percorrer uma distância
é:
.
a) Mostrar que a velocidade no instante
b) Mostrar que a distância percorrida em um tempo
c) Mostrar que a velocidade, depois de percorrer uma distância
Passo 1
O enunciado nos dá que, após desligar o motor, a desaceleração da lancha é proporcional ao quadrado da velocidade, ou seja, satisfy a equação diferencial separável. Vamos resolver três itens: achar a velocidade em função do tempo v(t), a distância percorrida x(t) e, por fim, a velocidade em função da distância v(x).
Passo 2
Começamos pelo item (a). A equação diferencial é
É uma ODE separável. Separamos variáveis:
Integramos de t=0 (v=v₀) até t e v:
O lado esquerdo dá
e o direito é
. Igualando,
Rearranjando,
Isso resolve o item (a).
Passo 3
Para o item (b), usamos x(t)=∫₀ᵗ v(τ) dτ. Como de (a) temos
fazemos
Fazendo a troca de variável w=1+v₀kτ, dw=v₀k dτ, obtemos
Isso dá o resultado do item (b).
Passo 4
No item © queremos v em função de x. Note que
dv/dx=\frac{dv/dt}{dx/dt}=\frac{-k v^2}{v}=-k v.
É outra ODE separável:
dv/dx=\frac{dv/dt}{dx/dt}=\frac{-k v^2}{v}=-k v.
É outra ODE separável:
Integramos de x=0 (v=v₀) até x (v):
Logo
e, exponenciando,
Resposta
Parte (a):
;
Parte (b): ;
Parte ©: .
Parte (b):
Parte ©: