O deslocamento (em metros) de um objeto movendo-se ao longo de uma reta é dado por s=1+2 t+\frac{1}{4} t^{2}, onde t é medido em segundos. Encontre a velocidade média nos seguintes períodos.
1,3

Passo 1

O enunciado fornece a função deslocamento em função do tempo:
s(t)=1+2t+\tfrac{1}{4}t^{2},
onde s está em metros e t em segundos. Pede-se a velocidade média no intervalo [1,3].

Passo 2

Definição e fórmula: a velocidade média em um intervalo de tempo [a,b] é a razão entre o deslocamento total e o tempo decorrido. Em símbolos,
v_{\text{média}}=\frac{s(b)-s(a)}{b-a}.é
Aqui s(a) e s(b) são as posições (deslocamentos) nos instantes t=a e t=b; a unidade resultante é metros por segundo (\text{m/s}). Essa fórmula vem diretamente da ideia “velocidade média = distância percorrida ÷ tempo gasto”.

Passo 3

Calcular s(1) substituindo t=1 na expressão de s(t):
s(1)=1+2\cdot1+\tfrac{1}{4}\cdot1^{2}=1+2+\tfrac{1}{4}=3+\tfrac{1}{4}=\tfrac{13}{4}\\ \text{m}.

Passo 4

Calcular s(3) substituindo t=3:
s(3)=1+2\cdot3+\tfrac{1}{4}\cdot3^{2}=1+6+\tfrac{9}{4}=7+\tfrac{9}{4}=\tfrac{28}{4}+\tfrac{9}{4}=\tfrac{37}{4}\\ \text{m}.

Passo 5

Agora aplicar a fórmula da velocidade média com a=1 e b=3:
v_{\text{média}}=\frac{s(3)-s(1)}{3-1}=\frac{\tfrac{37}{4}-\tfrac{13}{4}}{2}=\frac{\tfrac{24}{4}}{2}=\frac{6}{2}=3\\ \text{m/s}.é
Interpretação rápida: em média, entre t=1 s e t=3 s o objeto avançou a uma taxa de 3 metros por segundo. Geometricamente, esse valor é a inclinação da secante que liga os pontos t=1 e t=3 no gráfico s versus t.

Resposta

3\\ \text{m/s}

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