O deslocamento (em metros) de um objeto movendo-se ao longo de uma reta é dado por s=1+2 t+\frac{1}{4} t^{2}, onde t é medido em segundos. Encontre a velocidade média nos seguintes períodos.
1,2

Passo 1

O enunciado dá a lei do deslocamento e pede a velocidade média no intervalo de tempo [1,2].
Informações fornecidas:
  • A função deslocamento é s(t)=1+2t+\dfrac{1}{4}t^{2}, com s em metros e t em segundos.
  • O intervalo de tempo pedido é [1,2] (ou seja, t_1=1 s e t_2=2 s).
  • A pergunta: encontrar a velocidade média do objeto no intervalo [1,2].

Passo 2

Definição e ideia que vou usar (passo-a-passo didático):
  • A velocidade média em um intervalo [t_1,t_2] é a razão entre a variação do deslocamento e a variação do tempo.
  • Fórmula:
\bar v=\frac{s(t_2)-s(t_1)}{t_2-t_1}.
Aqui:
  • s(t_1) é o deslocamento no instante inicial t_1.
  • s(t_2) é o deslocamento no instante final t_2.
  • t_2-t_1 é a duração do intervalo de tempo (em segundos).
    Intuição: isso é a inclinação da reta secante que liga os pontos (t_1,s(t_1)) e (t_2,s(t_2)) no gráfico s versus t.

Passo 3

Calcular s(1) passo a passo substituindo t=1 em s(t):
s(1)=1+2\cdot 1+\frac{1}{4}\cdot 1^{2}.
Agora calcular termo a termo:
s(1)=1+2+\frac{1}{4}=3+\frac{1}{4}=\frac{13}{4}.
Em forma decimal isso é \frac{13}{4}=3,25 metros.

Passo 4

Calcular s(2) substituindo t=2 em s(t):
s(2)=1+2\cdot 2+\frac{1}{4}\cdot 2^{2}.
Calcule os termos:
s(2)=1+4+\frac{1}{4}\cdot 4=1+4+1=6.
Logo s(2)=6 metros.

Passo 5

Calcular a variação do deslocamento e a velocidade média usando a fórmula do Passo 2:
  • Variação do deslocamento:
\Delta s = s(2)-s(1)=6-\frac{13}{4}=\frac{24}{4}-\frac{13}{4}=\frac{11}{4}.
Em decimal, \Delta s=\frac{11}{4}=2,75 metros.
  • Duração do intervalo:
\Delta t = 2-1=1\\ \text{segundo}.
  • Aplicando a fórmula da velocidade média:
\bar v=\frac{\Delta s}{\Delta t}=\frac{\tfrac{11}{4}}{1}=\frac{11}{4}.

Passo 6

Interpretação final (rápida e motivadora):
  • A velocidade média no intervalo [1,2] é \dfrac{11}{4} metros por segundo, ou seja 2,75\\ \text{m/s}.
  • Dica para prova: sempre calcule s(t_1) e s(t_2) com cuidado (frações podem simplificar coisas) e aplique a fórmula \bar v=(s(t_2)-s(t_1))/(t_2-t_1). Dá para fazer tudo sem calculadora se mantiver frações exatas.

Resposta

\dfrac{11}{4}\\ \text{m/s} = 2,75\\ \text{m/s}

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