1. Encontre equações da reta tangente à curva
y=\frac{2}{1-3 x}
nos pontos com coordenada x 0 \mathrm{e}-1.

Passo 1

Calma, a gente começa identificando direitinho o que o enunciado dá e o que ele pede.
  • A função dada é y=\dfrac{2}{1-3x}.
  • Os pontos onde queremos as retas tangentes têm coordenada em x iguais a 0 e a -1. Ou seja, os pontos são (0,y(0)) e (-1,y(-1)).
  • O enunciado pede: “encontrar as equações das retas tangentes à curva” nesses dois pontos.
Essas são as informações e o pedido. Agora vamos aprender como achar a reta tangente e aplicar passo a passo.

Passo 2

O que é a reta tangente num ponto e qual fórmula usar?
  • A reta tangente à curva no ponto x_0 é a reta que toca a curva naquele ponto e tem a mesma inclinação (mesma derivada) que a curva em x_0.
  • Se o ponto é (x_0,y_0) e a inclinação (coeficiente angular) é m, a equação ponto-inclinação da reta é
y-y_0 = m\,(x-x_0).
Aqui:
  • x_0 e y_0 são as coordenadas do ponto de tangência,
  • m é a derivada da função naquele ponto, isto é m = y'(x_0).
Portanto, para cada x_0 que o enunciado dá nós precisamos de dois passos: (a) calcular y_0 = y(x_0); (b) calcular m = y'(x_0); e então aplicar a fórmula acima.

Passo 3

Como calcular a derivada y'(x) da função y=\dfrac{2}{1-3x}? Vamos transformar e usar regras básicas.
  • Reescrevendo, y = 2\,(1-3x)^{-1}. Isso facilita aplicar a regra da potência combinada com a regra da cadeia.
  • Relembrando as regras (explicando passo a passo):
    • Regra da potência: se v(x)=u(x)^n então v'(x)=n\,u(x)^{\,n-1}\,u'(x).
    • Regra da cadeia: quando uma função está dentro de outra (como u(x)=1-3x dentro de u^{-1}), multiplica-se pela derivada da função interna u'(x).
  • Neste caso temos u(x)=1-3x e y=2\,u(x)^{-1}.

Passo 4

Aplicando as regras para obter y'(x), com as contas bem separadas:
  • Primeiro calcule u'(x). Como u(x)=1-3x,
u'(x) = \frac{d}{dx}(1-3x) = -3.
  • Agora derivamos y=2\,u^{-1} usando regra da potência e da cadeia:
y' = 2 \cdot (-1)\,u^{-2}\cdot u'(x).
Substituindo u'(x)=-3 e u=1-3x,
y' = 2\cdot(-1)\,(1-3x)^{-2}\cdot(-3).
  • Faça a multiplicação dos coeficientes numéricos:
2\cdot(-1)\cdot(-3)=2\cdot3=6.
  • Portanto a derivada simplificada é
y' = 6\,(1-3x)^{-2}.
Ou, escrita de forma mais usual,
y' = \frac{6}{(1-3x)^2}.

Passo 5

Agora aplicamos isso ao primeiro ponto com x_0=0.
  • Calcule y(0):
y(0)=\frac{2}{1-3\cdot 0}=\frac{2}{1}=2.
Logo o ponto é (0,2).
  • Calcule y'(0):
y'(0)=\frac{6}{(1-3\cdot 0)^2}=\frac{6}{1^2}=6.
Então a inclinação da reta tangente em x=0 é m=6.
  • Use a fórmula ponto-inclinação \;y-y_0=m(x-x_0)\; com x_0=0, y_0=2, m=6:
y-2 = 6(x-0).
Isolando y,
y = 6x+2.

Passo 6

Agora fazemos o mesmo para x_0=-1.
  • Calcule y(-1):
y(-1)=\frac{2}{1-3(-1)}=\frac{2}{1+3}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}.
Logo o ponto é (-1,\tfrac{1}{2}).
  • Calcule y'(-1):
y'(-1)=\frac{6}{(1-3(-1))^2}=\frac{6}{(1+3)^2}=\frac{6}{4^2}=\frac{6}{16}=\frac{3}{8}.
Então a inclinação da reta tangente em x=-1 é m=\dfrac{3}{8}.
  • Aplique a fórmula ponto-inclinação com x_0=-1, y_0=\tfrac{1}{2}, m=\tfrac{3}{8}:
y-\frac{1}{2} = \frac{3}{8}\,(x-(-1)) = \frac{3}{8}(x+1).
Agora simplificamos para a forma y=mx+b:
y = \frac{3}{8}x + \frac{3}{8} + \frac{1}{2}.
Calcule \dfrac{3}{8}+\dfrac{1}{2}. Note que \dfrac{1}{2}=\dfrac{4}{8}, então
\frac{3}{8}+\frac{1}{2}=\frac{3}{8}+\frac{4}{8}=\frac{7}{8}.
Assim a equação final é
y = \frac{3}{8}x + \frac{7}{8}.

Passo 7

Resumo rápido (checagem): as duas retas encontradas passam pelos pontos de tangência e têm inclinações iguais às derivadas calculadas — isso confirma que fizemos os passos corretos.

Resposta

y=6x+2
y=\dfrac{3}{8}x+\dfrac{7}{8}

Exercícios relacionados