- Encontre equações da reta tangente à curva
nos pontos com coordenada
.
Passo 1
Calma, a gente começa identificando direitinho o que o enunciado dá e o que ele pede.
- A função dada é
. - Os pontos onde queremos as retas tangentes têm coordenada em
iguais a e a . Ou seja, os pontos são e . - O enunciado pede: “encontrar as equações das retas tangentes à curva” nesses dois pontos.
Essas são as informações e o pedido. Agora vamos aprender como achar a reta tangente e aplicar passo a passo.
Passo 2
O que é a reta tangente num ponto e qual fórmula usar?
- A reta tangente à curva no ponto
é a reta que toca a curva naquele ponto e tem a mesma inclinação (mesma derivada) que a curva em . - Se o ponto é
e a inclinação (coeficiente angular) é , a equação ponto-inclinação da reta é
Aqui:
-
e são as coordenadas do ponto de tangência, -
é a derivada da função naquele ponto, isto é .
Portanto, para cada
que o enunciado dá nós precisamos de dois passos: (a) calcular
; (b) calcular
; e então aplicar a fórmula acima.
Passo 3
Como calcular a derivada
da função
? Vamos transformar e usar regras básicas.
- Reescrevendo,
. Isso facilita aplicar a regra da potência combinada com a regra da cadeia. - Relembrando as regras (explicando passo a passo):
- Regra da potência: se
então . - Regra da cadeia: quando uma função está dentro de outra (como
dentro de ), multiplica-se pela derivada da função interna .
- Regra da potência: se
- Neste caso temos
e .
Passo 4
Aplicando as regras para obter
, com as contas bem separadas:
- Primeiro calcule
. Como ,
- Agora derivamos
usando regra da potência e da cadeia:
Substituindo
e
,
- Faça a multiplicação dos coeficientes numéricos:
- Portanto a derivada simplificada é
Ou, escrita de forma mais usual,
Passo 5
Agora aplicamos isso ao primeiro ponto com
.
- Calcule
:
Logo o ponto é
.
- Calcule
:
Então a inclinação da reta tangente em
é
.
- Use a fórmula ponto-inclinação
com , , :
Isolando
,
Passo 6
Agora fazemos o mesmo para
.
- Calcule
:
Logo o ponto é
.
- Calcule
:
Então a inclinação da reta tangente em
é
.
- Aplique a fórmula ponto-inclinação com
, , :
Agora simplificamos para a forma
:
Calcule
. Note que
, então
Assim a equação final é
Passo 7
Resumo rápido (checagem): as duas retas encontradas passam pelos pontos de tangência e têm inclinações iguais às derivadas calculadas — isso confirma que fizemos os passos corretos.