1. \lim _{x \rightarrow 1}\left(\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x^{2}-3 x+2}\right)

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular o limite
\lim_{x\to 1}\left(\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x^{2}-3x+2}\right).
Informações dadas e observações imediatas (sem resolver ainda):
  • As duas frações têm denominadores que podem anular-se para alguns x.
  • O polinômio x^{2}-3x+2 é um quadrático; também há o fator x-1 isolado no primeiro denominador.
  • O ponto em que tomamos o limite é x=1. Neste ponto o denominador x-1 é zero, e o quadrático também pode ser zero (verificação será feita nos passos seguintes).
  • A expressão dada não está definida em x=1 (divisão por zero), mas o limite pode existir se houver cancelamentos ou se as duas parcelas se combinarem de modo que o comportamento perto de 1 seja finito.

Passo 2

Fatorar o polinômio quadrático para expor possíveis fatores comuns. Vou fatorar x^{2}-3x+2.
A técnica: procurar dois números cuja soma seja -3 e cujo produto seja 2. Esses números são -1 e -2. Então
x^{2}-3x+2=(x-1)(x-2).
Portanto a expressão fica, para x diferente de 1 e 2,
\frac{1}{x-1}+\frac{1}{(x-1)(x-2)}.

Passo 3

Colocar as duas frações sobre um denominador comum para somá-las. O denominador comum natural é (x-1)(x-2). Escrever cada termo com esse denominador:
  • A primeira fração \dfrac{1}{x-1} transforma-se em
\frac{1}{x-1}=\frac{x-2}{(x-1)(x-2)},
pois multiplicando numerador e denominador por (x-2) não altera o valor quando x\neq2.
  • A segunda fração já é \dfrac{1}{(x-1)(x-2)}.
Somando:
\frac{x-2}{(x-1)(x-2)}+\frac{1}{(x-1)(x-2)}=\frac{x-2+1}{(x-1)(x-2)}.

Passo 4

Simplificar o numerador da fração composta:
x-2+1=x-1.
Então a soma fica
\frac{x-1}{(x-1)(x-2)}.
Agora, para x diferente de 1 (e também diferente de 2), podemos cancelar o fator comum (x-1) no numerador e denominador:
\frac{x-1}{(x-1)(x-2)}=\frac{1}{x-2},\qquad \text{para }x\neq1,2.
Observação conceitual: cancelar (x-1) é permitido na análise do limite porque o limite considera valores de x arbitrariamente próximos de 1 mas não iguais a 1. Assim podemos trabalhar com a função equivalente \dfrac{1}{x-2} em uma vizinhança de 1 (exceto em x=1 em si).

Passo 5

Usar a equivalência obtida para calcular o limite. Como para x perto de 1 (mas x\neq1) a expressão original coincide com \dfrac{1}{x-2}, e a função \dfrac{1}{x-2} é contínua em x=1, o limite do original quando x\to1 é o mesmo que o valor de \dfrac{1}{x-2} em x=1. Portanto basta avaliar:
\lim_{x\to 1}\frac{1}{x-2}=\frac{1}{1-2}.

Passo 6

Calcular o valor numérico:
\frac{1}{1-2}=\frac{1}{-1}=-1.
Resumo conceitual final: embora cada parcela isolada pareça divergente em x=1 (porque têm denominador zero), a soma total simplifica e o comportamento singular se cancela, resultando em uma função equivalente próxima de x=1 que é finita. Por isso o limite existe e vale -1.

Resposta

-1

Exercícios relacionados