Passo 1
O que o enunciado pede: calcular o limite
Informações dadas e observações imediatas (sem resolver ainda):
- As duas frações têm denominadores que podem anular-se para alguns
. - O polinômio
é um quadrático; também há o fator isolado no primeiro denominador. - O ponto em que tomamos o limite é
. Neste ponto o denominador é zero, e o quadrático também pode ser zero (verificação será feita nos passos seguintes). - A expressão dada não está definida em
(divisão por zero), mas o limite pode existir se houver cancelamentos ou se as duas parcelas se combinarem de modo que o comportamento perto de seja finito.
Passo 2
Fatorar o polinômio quadrático para expor possíveis fatores comuns. Vou fatorar
.
A técnica: procurar dois números cuja soma seja
e cujo produto seja
. Esses números são
e
. Então
Portanto a expressão fica, para
diferente de
e
,
Passo 3
Colocar as duas frações sobre um denominador comum para somá-las. O denominador comum natural é
. Escrever cada termo com esse denominador:
- A primeira fração
transforma-se em
pois multiplicando numerador e denominador por
não altera o valor quando
.
- A segunda fração já é
.
Somando:
Passo 4
Simplificar o numerador da fração composta:
Então a soma fica
Agora, para
diferente de
(e também diferente de
), podemos cancelar o fator comum
no numerador e denominador:
Observação conceitual: cancelar
é permitido na análise do limite porque o limite considera valores de
arbitrariamente próximos de
mas não iguais a
. Assim podemos trabalhar com a função equivalente
em uma vizinhança de
(exceto em
em si).
Passo 5
Usar a equivalência obtida para calcular o limite. Como para
perto de
(mas
) a expressão original coincide com
, e a função
é contínua em
, o limite do original quando
é o mesmo que o valor de
em
. Portanto basta avaliar:
Passo 6
Calcular o valor numérico:
Resumo conceitual final: embora cada parcela isolada pareça divergente em
(porque têm denominador zero), a soma total simplifica e o comportamento singular se cancela, resultando em uma função equivalente próxima de
que é finita. Por isso o limite existe e vale
.
Resposta
-1