Escreva a série de Taylor para a seguinte função complexa, e diga para quais valores de
a série é convergente:
ao redor da origem.
Passo 1
Vamos resolver um exercício que pede para escrever a série de Taylor da função complexa $ f(z) = \frac{e^{z}}{\cos(z)} $ ao redor da origem. Além disso, precisamos descobrir para quais valores de $ z $ essa série converge. Para isso, vamos precisar entender o que é uma série de Taylor, conhecer as séries de $ e^{z} $ e $ \cos(z) $, e aprender como lidar com a divisão de séries.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma série de Taylor. É uma representação de uma função como uma soma infinita de termos calculados a partir das derivadas da função em um ponto específico. No nosso caso, o ponto é a origem (0).
Passo 3
Sabemos que a série de Taylor para $ e^{z} $ ao redor de 0 é:
E para $ \cos(z) $:
Passo 4
Nosso objetivo é encontrar a série de Taylor de $ f(z) = \frac{e^{z}}{\cos(z)} $. Para isso, precisamos dividir a série de $ e^{z} $ pela série de $ \cos(z) $. Isso pode ser um pouco complicado, mas podemos usar a técnica de divisão de séries ou reconhecer que $ \frac{1}{\cos(z)} $ é conhecido como a série da secante.
Passo 5
A série de Taylor para $ \frac{1}{\cos(z)} = \sec(z) $ ao redor de 0 é:
onde $ E_{2n} $ são os números de Euler, que aparecem nas expansões da função secante.
Passo 6
Agora, para encontrar a série de $ f(z) = e^{z} \cdot \sec(z) $, multiplicamos as duas séries de Taylor que temos:
Passo 7
Multiplicando essas séries, obtemos:
Isso representa a série de Taylor de $ f(z) $ ao redor de 0.
Passo 8
Agora, vamos determinar para quais valores de $ z $ essa série converge. A série de Taylor converge até o ponto mais próximo onde a função não é analítica (ou seja, tem alguma singularidade).
Passo 9
Observamos que $ \cos(z) $ é igual a zero quando $ z = \frac{(2n+1)\pi}{2} $, onde $ n $ é um número inteiro. Portanto, as singularidades de $ f(z) $ estão nesses pontos.
Passo 10
A distância da origem até a primeira singularidade é $ \frac{\pi}{2} $. Assim, a série de Taylor de $ f(z) $ converge para todos os $ z $ tais que:
Resposta
A série de Taylor de $ f(z) = \frac{e^{z}}{\cos(z)} $ ao redor da origem é dada por:
Essa série converge para todos os valores de $ z $ onde $ |z| < \frac{\pi}{2} $.