Escreva a série de Taylor para a seguinte função complexa, e diga para quais valores de z a série é convergente:
f(z)=e^zcos (z) ao redor da origem.

Passo 1

Vamos resolver um exercício que pede para escrever a série de Taylor da função complexa $ f(z) = \frac{e^{z}}{\cos(z)} $ ao redor da origem. Além disso, precisamos descobrir para quais valores de $ z $ essa série converge. Para isso, vamos precisar entender o que é uma série de Taylor, conhecer as séries de $ e^{z} $ e $ \cos(z) $, e aprender como lidar com a divisão de séries.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma série de Taylor. É uma representação de uma função como uma soma infinita de termos calculados a partir das derivadas da função em um ponto específico. No nosso caso, o ponto é a origem (0).

Passo 3

Sabemos que a série de Taylor para $ e^{z} $ ao redor de 0 é:
e^z
E para $ \cos(z) $:
e^z = sumn=0^infty z^nn!

Passo 4

Nosso objetivo é encontrar a série de Taylor de $ f(z) = \frac{e^{z}}{\cos(z)} $. Para isso, precisamos dividir a série de $ e^{z} $ pela série de $ \cos(z) $. Isso pode ser um pouco complicado, mas podemos usar a técnica de divisão de séries ou reconhecer que $ \frac{1}{\cos(z)} $ é conhecido como a série da secante.

Passo 5

A série de Taylor para $ \frac{1}{\cos(z)} = \sec(z) $ ao redor de 0 é:
1cos(z) = sec(z)
onde $ E_{2n} $ são os números de Euler, que aparecem nas expansões da função secante.

Passo 6

Agora, para encontrar a série de $ f(z) = e^{z} \cdot \sec(z) $, multiplicamos as duas séries de Taylor que temos:
f(z) = e^z cdot sec(z)

Passo 7

Multiplicando essas séries, obtemos:
f(z) = sumk=0^infty ( sumn=0^k E2(k-n) z^k(k-n)! (2(k-n))! )
Isso representa a série de Taylor de $ f(z) $ ao redor de 0.

Passo 8

Agora, vamos determinar para quais valores de $ z $ essa série converge. A série de Taylor converge até o ponto mais próximo onde a função não é analítica (ou seja, tem alguma singularidade).

Passo 9

Observamos que $ \cos(z) $ é igual a zero quando $ z = \frac{(2n+1)\pi}{2} $, onde $ n $ é um número inteiro. Portanto, as singularidades de $ f(z) $ estão nesses pontos.

Passo 10

A distância da origem até a primeira singularidade é $ \frac{\pi}{2} $. Assim, a série de Taylor de $ f(z) $ converge para todos os $ z $ tais que:
pi2

Resposta

A série de Taylor de $ f(z) = \frac{e^{z}}{\cos(z)} $ ao redor da origem é dada por:
f(z) = e^zcos(z)
Essa série converge para todos os valores de $ z $ onde $ |z| < \frac{\pi}{2} $.

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