Encontre a série de Laurent para a seguinte função ao redor da origem e indique os intervalos de validade:
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função $ f(z) = \exp\left(\frac{1}{z}\right) $ e precisamos encontrar a série de Laurent dessa função ao redor da origem (ou seja, em torno de $ z = 0 $). Além disso, precisamos indicar os intervalos de validade dessa série. Para isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre séries de Laurent e funções exponenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a série de Laurent é uma representação de uma função complexa que pode incluir termos com potências negativas de $ z $. Ela é útil especialmente para funções que têm singularidades, como $ \frac{1}{z} $ em nosso caso.
A função exponencial é dada por:
Neste exercício, temos $ w = \frac{1}{z} $, então podemos substituir na série da exponencial.
Passo 3
Substituindo $ w = \frac{1}{z} $ na série da exponencial, temos:
Essa é a série de Laurent da função $ f(z) $ ao redor da origem.
Passo 4
Agora, vamos determinar os intervalos de validade dessa série. A série de Laurent converge onde a série exponencial original converge. Sabemos que a série exponencial converge para todo o complexo $ w $, ou seja, não há restrição sobre $ w $.
No nosso caso, $ w = \frac{1}{z} $, então a série converge para todo $ z $ diferente de zero. Portanto, a série de Laurent é válida em todo o domínio complexo, exceto na origem, onde a função tem uma singularidade essencial.
Resposta
A série de Laurent de $ f(z) = \exp\left(\frac{1}{z}\right) $ ao redor da origem é:
Essa série converge para todo $ z $ no plano complexo, exceto em $ z = 0 $.