Um elétron entra em uma região onde existem um campo elétrico uniforme \vec{E} e um campo magnético uniforme \vec{B}=(0,50 \mathrm{mT}) \hat{i}. A velocidade inicial do elétron é
\vec{v}=\left(3,0 \times 10^{6} \hat{j}\right) \mathrm{m} / \mathrm{s}
Sabe-se que a partícula se move em linha reta sem desvio.
a) Determine o vetor campo elétrico \vec{E}.
b) Explique fisicamente por que não há desvio da trajetória.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede o que segue:
  • Partícula: elétron (carga q=-e).
  • Campo magnético uniforme: \displaystyle \vec{B}=(0{,}50\\ \mathrm{mT})\,\hat{i}.
  • Velocidade inicial: \displaystyle \vec{v}=\bigl(3{,}0\times10^{6}\bigr)\,\hat{j}\\ \mathrm{m/s}.
  • A partícula se move em linha reta sem desvio.
Perguntas:
a) Determinar o vetor campo elétrico \vec{E}.
b) Explicar fisicamente por que não há desvio da trajetória.

Passo 2

Princípio físico a usar (fórmula e explicação): a força total sobre uma partícula de carga q que se move com velocidade \vec{v} em campos elétrico e magnético é dada pela força de Lorentz,
\vec{F}=q\bigl(\vec{E}+\vec{v}\times\vec{B}\bigr).
Explicando as variáveis:
  • \vec{F} é a força resultante (unidade: \mathrm{N}).
  • q é a carga da partícula (para o elétron q=-e, com e>0).
  • \vec{E} é o campo elétrico (unidade: \mathrm{V/m}).
  • \vec{v} é a velocidade da partícula (unidade: \mathrm{m/s}).
  • \vec{B} é o campo magnético (unidade: \mathrm{T}).
    Observação prática: para a partícula seguir em linha reta sem desvio a força resultante deve ser nula, isto é \vec{F}=\vec{0}.

Passo 3

Condição para não haver desvio: impor \vec{F}=\vec{0} na fórmula da força de Lorentz. Como q\neq0, podemos dividir por q e obter a condição entre campos:
\vec{E}+\vec{v}\times\vec{B}=\vec{0}\qquad\Rightarrow\qquad \vec{E}=-\,\vec{v}\times\vec{B}.
Então basta calcular \vec{v}\times\vec{B} e mudar o sinal.

Passo 4

Detalhar as componentes e converter unidades:
\vec{v}=(0,\;3{,}0\times10^{6},\;0)\\ \mathrm{m/s}, \qquad \vec{B}=(5{,}0\times10^{-4},\;0,\;0)\\ \mathrm{T},
pois 0{,}50\\ \mathrm{mT}=0{,}50\times10^{-3}\\ \mathrm{T}=5{,}0\times10^{-4}\\ \mathrm{T}.
Calcular o produto vetorial componente a componente. A fórmula para a componente z é
(\vec{v}\times\vec{B})_z = v_x B_y - v_y B_x.
Aqui v_x=0,\\ v_y=3{,}0\times10^{6},\\ B_x=5{,}0\times10^{-4},\\ B_y=0. Logo
(\vec{v}\times\vec{B})_z = 0 - v_y B_x = -\,v_y B_x.
As componentes x e y do produto vetorial são nulas porque B_y=B_z=v_x=v_z=0. Portanto
\vec{v}\times\vec{B} = -\,v_y B_x\\ \hat{k}.

Passo 5

Fazer a conta numérica do produto escalar:
v_y B_x = \bigl(3{,}0\times10^{6}\bigr)\cdot\bigl(5{,}0\times10^{-4}\bigr) =15{,}0\times10^{2}=1{,}5\times10^{3}.
Logo
\vec{v}\times\vec{B} = -\,1{,}5\times10^{3}\\ \hat{k}\\ \mathrm{(V/m)}.
(Observação: as unidades de \vec{v}\times\vec{B} são compatíveis com \mathrm{V/m}, que é a unidade de \vec{E}.)

Passo 6

Aplicar \vec{E}=-\,\vec{v}\times\vec{B}:
\vec{E}=+\;1{,}5\times10^{3}\\ \hat{k}\\ \mathrm{V/m}.
Em componentes:
\vec{E}=(0,\;0,\;1{,}5\times10^{3})\\ \mathrm{V/m}.

Passo 7

Explicação física (intuitiva e com as direções):
  • Se só houvesse o campo magnético, a força magnética sobre uma carga positiva seria q\,\vec{v}\times\vec{B}, que aqui (para \vec{v} em +\hat{j} e \vec{B} em +\hat{i}) tem direção -\hat{k} (isto é, \vec{v}\times\vec{B} aponta para -\hat{k}).
  • Para o elétron, cuja carga é negativa, a força magnética q(\vec{v}\times\vec{B}) muda de sinal e aponta na direção +\hat{k}.
  • Escolhendo \vec{E} como calculado (em +\hat{k}), a força elétrica sobre o elétron é q\vec{E}, que é oposta a \vec{E} (porque q<0), portanto a força elétrica sobre o elétron aponta em -\hat{k}.
  • Assim a força elétrica e a força magnética sobre o elétron têm mesma magnitude e sentidos opostos, cancelam-se exatamente, resultando em força resultante nula. Com força resultante nula, a partícula não acelera transversalmente e segue em linha reta.

Resposta

a) \displaystyle \vec{E}=(0,\;0,\;1{,}5\times10^{3})\\ \mathrm{V/m} = 1{,}5\times10^{3}\,\hat{k}\\ \mathrm{V/m}.
b) Porque a força elétrica e a força magnética sobre o elétron têm mesma magnitude e sentidos opostos, de modo que q(\vec{E}+\vec{v}\times\vec{B})=\vec{0}; portanto não há força resultante e a trajetória permanece retilínea.

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