As despesas mensais com alimentação em uma família de quatro pessoas numa cidade grande se distribuem de forma aproximadamente normal com média de e desvio padrão de e desvio padrão de .
(a) Que porcentagem dessas despesas é menor que 80 ?
(b) Que porcentagem dessas despesas esta entre e ? (b) Que porcenta>=m dessas despesas esta entre ?
© Que porcentagem dessas despesas esta entre 250 e ?
(d) Que porcentagem dessas despesas é menor que ? (c) Que porcenta>=m dessas despesas esta entre ou maior que 250 ?
(e) Quais seriam suas respostas se o desvio padrão fosse ?

Passo 1

O enunciado diz que as despesas mensais X seguem aproximadamente uma distribuição normal com média mu=420 e desvio padrão sigma=80. Precisamos calcular várias probabilidades do tipo P(a ou P(X, o que fazemos padronizando X para a variável Z e usando a tabela da normal padrão.

Passo 2

Para padronizar usamos a fórmula abaixo. Assim transformamos qualquer X numa variável Z com média 0 e desvio 1:
Z = X - musigma

Passo 3

Para (a) calculamos
z = 350 - 42080 = -0,875
Na tabela da normal padrão Phi(-0,875) approx 0,1915.
Portanto
P(X<350) = 0,1915 approx 19,15%

Passo 4

Para (b) calculamos os dois limites padronizados:
z1 = 250-42080 = -2,125, z2 = 450-42080 = 0,375
Da tabela: Phi(-2,125)approx0,0168 e Phi(0,375)approx0,6463.
Então
P(250<= X<=450)=0,6463 - 0,0168 = 0,6295 approx 62,95%

Passo 5

Para © usamos os mesmos z1 e z2 de antes, mas agora entre 250 e 350:
P(250<= X<=350)=Phi(-0,875)-Phi(-2,125)=0,1915-0,0168=0,1747approx17,47%

Passo 6

Para (d) queremos P(X<250)+P(X>450). Já sabemos Phi(-2,125)=0,0168 e Phi(0,375)=0,6463, então
P(X<250)=0,0168, P(X>450)=1-0,6463=0,3537
Somando dá
0,0168+0,3537=0,3705approx37,05%

Passo 7

Para (e) repetimos todos os cálculos trocando sigma=80 por sigma=100.
(a) z=(350-420)/100=-0,7,Phi(-0,7)approx0,2420 ⇒ 24{,}20%
(b) z1=(250-420)/100=-1,7,Phi(-1,7)approx0,0446; z2=(450-420)/100=0,3,Phi(0,3)approx0,6179; 0,6179-0,0446=0,5733⇒57,33%
© 0,2420-0,0446=0,1974⇒19,74%
(d) 0,0446+(1-0,6179)=0,0446+0,3821=0,4267⇒42,67%

Resposta

(a) 19,15%
(b) 62,95%
© 17,47%
(d) 37,05%
(e) para σ=100: (a) 24,20% (b) 57,33% © 19,74% (d) 42,67%

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