Desprezando as perdas resistivas no fio, qual é a quantidade de corrente necessária em uma antena em anel de raio 2,0 cm em 60 MHz para irradiar 1,0 W de potência? Repita para um anel de 20 espiras.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um problema sobre antenas de anel. A questão pergunta qual a quantidade de corrente que precisamos passar por uma antena em forma de anel com raio de 2,0 cm, operando em 60 MHz, para que ela irradie uma potência de 1,0 W. Além disso, pede para repetir o cálculo considerando um anel com 20 espiras. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre como a potência irradiada por uma antena de anel depende da corrente que passa por ela.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula que relaciona a potência irradiada ( P) por uma antena de anel pequeno com a corrente ( I) que passa por ela. A fórmula é:
P = mu0 cdot n^2 cdot I^2 cdot A^2 cdot omega^46 pi c^3
Onde:
  • mu0 é a permeabilidade do vácuo ( 4pi times 10^-7 T·m/A)
  • n é o número de espiras (1 para um único anel, 20 para o anel com 20 espiras)
  • I é a corrente que queremos encontrar
  • A é a área do anel
  • omega é a frequência angular
  • c é a velocidade da luz ( 3 times 10^8 m/s)

Passo 3

Vamos calcular cada um desses termos passo a passo. Primeiro, precisamos encontrar a área ( A) do anel. Como o anel é circular, a área é dada por:
A = pi r^2
Onde r é o raio. Aqui, r = 2,0 cm = 0,02 m. Então:
A = pi times (0,02)^2 = pi times 0,0004 = 0,0012566 m^2

Passo 4

Agora, vamos determinar a frequência angular ( omega). Sabemos que omega = 2pi f, onde f = 60 MHz = 60 times 10^6 Hz. Então:
omega = 2pi times 60 times 10^6 approx 3,7699 times 10^8 rad/s

Passo 5

Com todos os valores prontos, vamos reorganizar a fórmula para encontrar a corrente I:
I = raiz6 pi c^3 Pmu0 n^2 A^2 omega^4
Vamos agora inserir os valores conhecidos:
P = 1,0 W mu0 = 4pi times 10^-7 T·m/A c = 3 times 10^8 m/s A = 0,0012566 m^2 omega = 3,7699 times 10^8 rad/s

Passo 6

Primeiro, calculamos o numerador:
6 pi c^3 P = 6 pi times (3 times 10^8)^3 times 1 = 6 pi times 27 times 10^24 = 162 pi times 10^24 approx 5,103 times 10^26
Depois, o denominador para n = 1:
mu0 n^2 A^2 omega^4 = 4pi times 10^-7 times 1 times (0,0012566)^2 times (3,7699 times 10^8)^4
Calculando cada parte:
(0,0012566)^2 approx 1,578 times 10^-6 (3,7699 times 10^8)^4 approx 2,016 times 10^35
Então:
4pi times 10^-7 times 1,578 times 10^-6 times 2,016 times 10^35 approx 4pi times 1,578 times 2,016 times 10^22 approx 4 times 3,1416 times 3,183 times 10^22 approx 4 times 10 times 10^22 = 4 times 10^23

Passo 7

Agora, colocamos tudo na fórmula da corrente:
I = raiz5,103 times 10^264 times 10^23 = raiz1,27575 times 10^3 approx raiz1275,75 approx 35,7 A

Passo 8

Agora, vamos fazer o mesmo cálculo para um anel com 20 espiras ( n = 20). A única diferença na fórmula é o n^2 no denominador. Então:
I = raiz5,103 times 10^264 times 10^23 times 20^2 = raiz5,103 times 10^264 times 10^23 times 400 = raiz5,103 times 10^261,6 times 10^26 = raiz3,189 approx 1,785 A

Resposta

Para irradiar 1,0 W de potência em uma antena em anel com raio de 2,0 cm a 60 MHz, a corrente necessária é de aproximadamente 35,7 A. Já para um anel com 20 espiras, a corrente necessária diminui para cerca de 1,785 A.

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