(6,0) A lei de Gravitação de Newton diz que a intensidade F da força exercida por um corpo de massa m sobre um corpo de massa M é
F=G m Mr^2
onde G é a constante gravitacional e r é a distância entre os corpos.
(a) Encontre d Fd r e explique seu significado. O que o sinal de menos indica?
(b) Suponha que seja conhecido que a Terra atrai um objeto com uma força que decresce a uma taxa de 2 N / km quando r=20.000 km. Quão rápido essa força varia quando r=10.000 km ?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício pede. A gente está trabalhando com a Lei da Gravitação de Newton, que descreve como dois corpos com massa se atraem. A equação é:
F = G m Mr^2
Aqui, F é a força gravitacional, G é a constante gravitacional, m e M são as massas dos dois corpos, e r é a distância entre eles.
No item (a), precisamos encontrar a derivada de F em relação a r , ou seja, dFdr . Isso vai nos ajudar a entender como a força gravitacional muda quando a distância entre os corpos muda. Também temos que explicar o significado do sinal negativo que aparece na derivada.

Passo 2

Vamos começar encontrando a derivada de F em relação a r . A equação é:
F = G m Mr^2
Para derivar F em relação a r , vamos usar a regra de potência. Lembra que a derivada de r^-2 em relação a r é:
ddr ( r^-2 ) = -2 r^-3
Então, aplicando isso na nossa equação:
dFdr = G m M times (-2 r^-3) = -2 G m Mr^3

Passo 3

Agora, vamos interpretar o que significa dFdr . Essa derivada nos diz como a força gravitacional F muda quando a distância r entre os corpos muda. Especificamente, ela representa a taxa de variação da força em relação à distância.
O sinal negativo na derivada indica que a força gravitacional diminui à medida que a distância r aumenta. Em outras palavras, conforme os corpos se afastam, a força de atração entre eles fica mais fraca. Isso faz sentido intuitivamente: quanto mais longe os corpos estão, menos forte é a atração gravitacional entre eles.

Passo 4

Agora, vamos para o item (b). Sabemos que quando r = 20.000 km, a força está diminuindo a uma taxa de 2 , N/km . Queremos descobrir quão rápido essa força varia quando r = 10.000 km.
Vamos usar a derivada que encontramos:
dFdr = -2 G m Mr^3
Sabemos que a taxa de variação da força é proporcional a 1r^3 . Então, se a taxa de variação é -2 , N/km quando r = 20.000 km, podemos encontrar a taxa de variação quando r = 10.000 km.

Passo 5

Vamos relacionar as taxas de variação para as duas distâncias. Como a taxa de variação da força é inversamente proporcional a r^3 , podemos escrever:
( dFdr )10.000 , km( dFdr )20.000 , km = ( 20.00010.000 )^3 = 2^3 = 8
Sabemos que ( dFdr )20.000 , km = -2 , N/km , então:
( dFdr )10.000 , km = -2 , N/km times 8 = -16 , N/km

Resposta

Quando a distância r = 10.000 km, a força gravitacional varia a uma taxa de -16 , N/km . Isso significa que a força está diminuindo mais rapidamente quando os corpos estão mais próximos.

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