A lei de Gravitação de Newton diz que a intensidade
da força exercida por um corpo de massa
sobre um corpo de massa
é
onde
é a constante gravitacional e
é a distância entre os corpos.
(a) Encontre
e explique seu significado. O que o sinal de menos indica?
(b) Suponha que seja conhecido que a Terra atrai um objeto com uma força que decresce a uma taxa de
quando
. Quão rápido essa força varia quando
?
(a) Encontre
(b) Suponha que seja conhecido que a Terra atrai um objeto com uma força que decresce a uma taxa de
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício pede. A gente está trabalhando com a Lei da Gravitação de Newton, que descreve como dois corpos com massa se atraem. A equação é:
Aqui,
é a força gravitacional,
é a constante gravitacional,
e
são as massas dos dois corpos, e
é a distância entre eles.
No item (a), precisamos encontrar a derivada de
em relação a
, ou seja,
. Isso vai nos ajudar a entender como a força gravitacional muda quando a distância entre os corpos muda. Também temos que explicar o significado do sinal negativo que aparece na derivada.
Passo 2
Vamos começar encontrando a derivada de
em relação a
. A equação é:
Para derivar
em relação a
, vamos usar a regra de potência. Lembra que a derivada de
em relação a
é:
Então, aplicando isso na nossa equação:
Passo 3
Agora, vamos interpretar o que significa
. Essa derivada nos diz como a força gravitacional
muda quando a distância
entre os corpos muda. Especificamente, ela representa a taxa de variação da força em relação à distância.
O sinal negativo na derivada indica que a força gravitacional diminui à medida que a distância
aumenta. Em outras palavras, conforme os corpos se afastam, a força de atração entre eles fica mais fraca. Isso faz sentido intuitivamente: quanto mais longe os corpos estão, menos forte é a atração gravitacional entre eles.
Passo 4
Agora, vamos para o item (b). Sabemos que quando
km, a força está diminuindo a uma taxa de
. Queremos descobrir quão rápido essa força varia quando
km.
Vamos usar a derivada que encontramos:
Sabemos que a taxa de variação da força é proporcional a
. Então, se a taxa de variação é
quando
km, podemos encontrar a taxa de variação quando
km.
Passo 5
Vamos relacionar as taxas de variação para as duas distâncias. Como a taxa de variação da força é inversamente proporcional a
, podemos escrever:
Sabemos que
, então:
Resposta
Quando a distância
km, a força gravitacional varia a uma taxa de
. Isso significa que a força está diminuindo mais rapidamente quando os corpos estão mais próximos.