Resolva o PVI

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial dado pela diferencial
dy + (2y - 1),dx = 0,
com a condição y(0)=tfrac12.
Aqui estamos diante de uma equação diferencial de primeira ordem e linear em y. Para resolver, vamos colocá-la na forma padrão
dydx + P(x),y = Q(x),
identificar o fator integrante e obter a solução geral, para só então impor a condição inicial.

Passo 2

Reescrevendo a equação diferencial em termos de derivada, temos
dy + (2y - 1),dx = 0 Longrightarrow dydx + 2y - 1 = 0,
ou seja
dydx + 2y = 1
Aqui P(x)=2 e Q(x)=1.

Passo 3

O fator integrante mu(x) é dado por
mu(x) = e^integral P(x),dx = e^integral 2,dx = e^2x
Multiplicamos toda a equação por mu(x):
e^2xdydx + 2e^2xy = e^2x
O lado esquerdo é a derivada do produto e^2xy, pois
ddxl(e^2xyr) = e^2xdydx + 2e^2xy

Passo 4

Integrando ambos os lados em relação a x, obtemos
integral ddxl(e^2xyr),dx = integral e^2x,dx Longrightarrow e^2xy = e^2x2 + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 5

Isolando y, chega-mos à solução geral
y(x) = 12 + C,e^-2x

Passo 6

Para satisfazer a condição inicial y(0)=tfrac12, fazemos x=0:
y(0) = 12 + C,e^-2cdot 0 = 12 + C = 12
Logo C=0 e a solução particular é
y(x) = 12

Resposta

A solução do PVI é
y(x) = 12

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