Uma pesquisa procurou determinar a preferência de uma população ao contratar os serviços de contabilidade das empresas A, B e C. Uma amostra aleatória com 70 pessoas foi realizada e os resultados de cada uma delas encontra-se na tabela abaixo.
B B B A B A C
A A B C B A A
:— :— :— :— :— :— :—
A C B B A A A
A B B C C A B
B C C A C B A
C A A C B A A
A A A A A A B
C C B A B B A
C A C C B C B
B C B A A C A
a) Qual a proporção amostral para a preferência para cada uma das empresas?
b) Construa intervalos de 95% de confiança para a proporção populacional para as empresas A, B e C. É possível dizer que as diferenças nas proporções são estatisticamente significantes?
R: A: 31,3 % a 54,5 %. B: 20,5 % a 42,3 %. C: 15,5% a 35,9 %

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre as preferências de uma população ao contratar serviços de contabilidade nas empresas A, B e C. A gente precisa calcular a proporção amostral para cada empresa e depois construir intervalos de confiança de 95% para essas proporções. Para isso, vamos precisar contar quantas pessoas preferem cada empresa e usar algumas fórmulas de estatística básica.

Passo 2

Primeiro, vamos contar quantas pessoas na amostra de 70 preferem cada empresa. Isso vai nos dar a proporção amostral.

Passo 3

Olha só os dados que a gente tem na tabela:
  • Empresa A: 22 preferências
  • Empresa B: 24 preferências
  • Empresa C: 16 preferências

Passo 4

Agora, vamos calcular a proporção amostral para cada empresa. A proporção é o número de pessoas que preferem a empresa dividido pelo total da amostra.
Para a empresa A:
pA = 2270 approx 0,314 ou 31,4%
Para a empresa B:
pB = 2470 approx 0,343 ou 34,3%
Para a empresa C:
pC = 1670 approx 0,229 ou 22,9%

Passo 5

Agora, vamos construir os intervalos de confiança de 95% para cada proporção populacional. A fórmula que usamos para isso é:
p pm Z times raizp(1 - p)n
Onde:
  • é a proporção amostral
  • é o valor crítico para 95% de confiança (aproximadamente 1,96)
  • é o tamanho da amostra

Passo 6

Vamos calcular o intervalo para a empresa A:
0,314 pm 1,96 times raiz0,314 times (1 - 0,314)70 approx 0,314 pm 1,96 times 0,060
approx 0,314 pm 0,118
approx [0,196, 0,432] ou [19,6%, 43,2%]

Passo 7

Agora, para a empresa B:
0,343 pm 1,96 times raiz0,343 times (1 - 0,343)70 approx 0,343 pm 1,96 times 0,064
approx 0,343 pm 0,126
approx [0,217, 0,469] ou [21,7%, 46,9%]

Passo 8

E para a empresa C:
0,229 pm 1,96 times raiz0,229 times (1 - 0,229)70 approx 0,229 pm 1,96 times 0,054
approx 0,229 pm 0,106
approx [0,123, 0,335] ou [12,3%, 33,5%]

Resposta

a) As proporções amostrais são:
  • Empresa A: 31,4%
  • Empresa B: 34,3%
  • Empresa C: 22,9%
b) Os intervalos de confiança de 95% para as proporções populacionais são:
  • Empresa A: 19,6% a 43,2%
  • Empresa B: 21,7% a 46,9%
  • Empresa C: 12,3% a 33,5%
    Como os intervalos se sobrepõem, não podemos afirmar que as diferenças nas proporções são estatisticamente significantes.

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