O desvio padrão de força de resistência de certos cabos produzidos por uma companhia é de 240kg. Após uma mudança no processo de produção desses cabos, a força de resistência de 8
cabos apresentou desvio padrão de 300 kg . Investigue a significância no aparente aumento em variabilidade, usando um nível de significância de:
(a) 0,05 ; e
cabos apresentou desvio padrão de 300 kg . Investigue a significância no aparente aumento em variabilidade, usando um nível de significância de:
(a) 0,05 ; e
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A gente tem que verificar se, após uma mudança no processo de produção de cabos, a variabilidade na força de resistência realmente aumentou de maneira significativa. Antes da mudança, o desvio padrão era de 240 kg, e depois da mudança, na amostra de 8 cabos, o desvio padrão foi de 300 kg. A gente vai usar um nível de significância de 0,05 para essa investigação. Para resolver isso, vamos precisar entender testes de hipóteses sobre variância usando a distribuição qui-quadrado.
Passo 2
Primeiro, vamos definir as hipóteses do nosso teste:
-
Hipótese Nula (H₀): A variabilidade não aumentou. Matemáticamente, isso significa que a variância após a mudança é igual à variância antes da mudança.
-
Hipótese Alternativa (H₁): A variabilidade aumentou. Então, a variância após a mudança é maior que a anterior.
Passo 3
Como estamos comparando variâncias e a amostra é pequena (n = 8), vamos usar o teste qui-quadrado. A fórmula para o teste é:
Onde:
-
é o tamanho da amostra (n = 8) -
é a variância da amostra (s² = 300²) -
é a variância sob a hipótese nula (σ₀² = 240²)
Passo 4
Vamos calcular o valor do teste qui-quadrado usando os números fornecidos:
Passo 5
Agora, precisamos encontrar o valor crítico da distribuição qui-quadrado para o nosso nível de significância (α = 0,05) e os graus de liberdade (df = n - 1 = 7). Usando uma tabela de qui-quadrado ou uma calculadora, encontramos que o valor crítico para
com 7 graus de liberdade e α = 0,05 é aproximadamente 14,067.
Passo 6
Comparamos o valor calculado do teste (
) com o valor crítico (≈14,067):
- Se
calculado > crítico, rejeitamos H₀. - Se
calculado ≤ crítico, não rejeitamos H₀.
No nosso caso, 10,94 ≤ 14,067.
Resposta
Como o valor do teste qui-quadrado (≈10,94) é menor que o valor crítico (≈14,067), não temos evidências suficientes para rejeitar a hipótese nula. Portanto, não há significância estatística para afirmar que a variabilidade na força de resistência dos cabos aumentou após a mudança no processo de produção no nível de significância de 0,05.