O desvio padrão de força de resistência de certos cabos produzidos por uma companhia é de 240kg. Após uma mudança no processo de produção desses cabos, a força de resistência de 8
cabos apresentou desvio padrão de 300 kg . Investigue a significância no aparente aumento em variabilidade, usando um nível de significância de:
(a) 0,05 ; e

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A gente tem que verificar se, após uma mudança no processo de produção de cabos, a variabilidade na força de resistência realmente aumentou de maneira significativa. Antes da mudança, o desvio padrão era de 240 kg, e depois da mudança, na amostra de 8 cabos, o desvio padrão foi de 300 kg. A gente vai usar um nível de significância de 0,05 para essa investigação. Para resolver isso, vamos precisar entender testes de hipóteses sobre variância usando a distribuição qui-quadrado.

Passo 2

Primeiro, vamos definir as hipóteses do nosso teste:
  • Hipótese Nula (H₀): A variabilidade não aumentou. Matemáticamente, isso significa que a variância após a mudança é igual à variância antes da mudança.
    H₀: sigma² = 240² ²²
  • Hipótese Alternativa (H₁): A variabilidade aumentou. Então, a variância após a mudança é maior que a anterior.
    H₁: sigma² > 240² ²²

Passo 3

Como estamos comparando variâncias e a amostra é pequena (n = 8), vamos usar o teste qui-quadrado. A fórmula para o teste é:
chi² = (n - 1)s²sigma₀² ²²²
Onde:
  • é o tamanho da amostra (n = 8)
  • ² é a variância da amostra (s² = 300²)
  • ² é a variância sob a hipótese nula (σ₀² = 240²)

Passo 4

Vamos calcular o valor do teste qui-quadrado usando os números fornecidos:
chi² = (8 - 1) times 300²240² = 7 times 9000057600 = 63000057600 approx 10,94 ²²²

Passo 5

Agora, precisamos encontrar o valor crítico da distribuição qui-quadrado para o nosso nível de significância (α = 0,05) e os graus de liberdade (df = n - 1 = 7). Usando uma tabela de qui-quadrado ou uma calculadora, encontramos que o valor crítico para ² com 7 graus de liberdade e α = 0,05 é aproximadamente 14,067.

Passo 6

Comparamos o valor calculado do teste ( ²) com o valor crítico (≈14,067):
  • Se ² calculado > ² crítico, rejeitamos H₀.
  • Se ² calculado ≤ ² crítico, não rejeitamos H₀.
No nosso caso, 10,94 ≤ 14,067.

Resposta

Como o valor do teste qui-quadrado (≈10,94) é menor que o valor crítico (≈14,067), não temos evidências suficientes para rejeitar a hipótese nula. Portanto, não há significância estatística para afirmar que a variabilidade na força de resistência dos cabos aumentou após a mudança no processo de produção no nível de significância de 0,05.

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