Um manufatureiro alega que ao menos 95 % de uma equipamento que ele fornece para uma fábrica esteja de acordo com as especificações. Numa inspeção de 200 peças de tal equipamente, 18 estavam com problemas. Teste a alegação do produtor com um nível de significância de:
(a) 0,01 ; e

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. O fabricante afirma que pelo menos dos equipamentos que ele fornece estão de acordo com as especificações. Para testar essa afirmação, vamos usar uma análise de proporção, que faz parte da estatística. Precisamos comparar a proporção declarada pelo fabricante com a proporção observada na inspeção das 200 peças, onde 18 estavam com problemas.

Passo 2

Primeiro, vamos definir as hipóteses que vamos testar:
  • Hipótese nula ( ): A proporção de equipamentos conformes é pelo menos . Matematicamente, .
  • Hipótese alternativa ( ): A proporção de equipamentos conformes é menor que . Matematicamente, .
Estamos usando um teste unilateral porque queremos verificar se a proporção é menor que o valor declarado.

Passo 3

Em seguida, vamos calcular a proporção observada de equipamentos com problemas na amostra:
p = número de equipamentos com prob<=mastamanho da amostra = 18200 = 0,09 ú
Isso significa que dos equipamentos na amostra apresentaram problemas.

Passo 4

Agora, vamos calcular o erro padrão da proporção sob a hipótese nula. A fórmula para o erro padrão ( SE = raizp0 (1 - p0)n = raiz0,95 times 0,05200 approx raiz0,0475200 approx raiz0,0002375 approx 0,0154 ) é:
Onde:
  • (proporção declarada pelo fabricante)
  • (tamanho da amostra)

Passo 5

Com o erro padrão calculado, vamos encontrar o valor z que representa quantos desvios padrão a proporção observada está abaixo da proporção declarada:
z = p - p0SE = 0,09 - 0,950,0154 approx -0,860,0154 approx -55,84

Passo 6

Agora, vamos comparar o valor z calculado com o valor crítico para o nível de significância de (1%). Como é um teste unilateral para a esquerda, o valor crítico de z para é aproximadamente .

Passo 7

Observando que é muito menor que , concluímos que o valor z calculado está na região de rejeição da hipótese nula.

Resposta

Com um nível de significância de , rejeitamos a hipótese nula. Isso indica que há evidências suficientes para afirmar que menos de dos equipamentos fornecidos pelo fabricante estão de acordo com as especificações.

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