As especificações para um produto de uma certa liga metálica exigem 23,2 % de cobre. Uma amostra de 10 análises de um produto mostraram uma média de 23,5 % e um desvio padrão de 0,24 %. Podemos concluir que os produdos satisfazem as especificações exigidas a um nível de significância de:
(a) 0,01?; e

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado fala sobre verificar se os produtos de uma liga metálica atendem à especificação de ter 23,2% de cobre. A gente tem uma amostra de 10 análises que mostraram uma média de 23,5% e um desvio padrão de 0,24%. Nosso objetivo é ver se podemos concluir que os produtos satisfazem essa especificação com um nível de significância de 0,01. Para isso, vamos usar o teste t de Student, que é adequado quando trabalhamos com amostras pequenas e não conhecemos o desvio padrão da população.

Passo 2

Primeiro, vamos formular as hipóteses do teste. A hipótese nula ( ) é que a média da população é igual a 23,2%, ou seja, . A hipótese alternativa ( ) é que a média é diferente de 23,2%, então . Estamos fazendo um teste bilateral porque queremos saber se a média é diferente, seja pra mais ou pra menos.

Passo 3

Agora, vamos calcular o estatístico t. A fórmula para o teste t é:
t = barx - mu0sraizn
Onde:
  • t = 23,5 - 23,20,24raiz10 = 0,30,243,162 approx 0,30,0759 approx 3,95 é a média da amostra
  • é a média hipotética
  • é o desvio padrão da amostra
  • é o tamanho da amostra
Vamos substituir os valores:

Passo 4

Em seguida, precisamos determinar o valor crítico do t para nosso nível de significância e graus de liberdade. O nível de significância é e os graus de liberdade são .
Consultando uma tabela t de Student ou usando uma calculadora, para e , o valor crítico para um teste bilateral é aproximadamente í.

Passo 5

Agora, comparamos o nosso valor t calculado com o valor crítico. Se o valor absoluto do t calculado for maior que o valor crítico, rejeitamos a hipótese nula.
No nosso caso:
|3,95| > 3,25
Como 3,95 é maior que 3,25, vamos rejeitar a hipótese nula.

Resposta

Sim, podemos concluir que os produtos não satisfazem as especificações exigidas de 23,2% de cobre ao nível de significância de 0,01.

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