As especificações para um produto de uma certa liga metálica exigem
de cobre. Uma amostra de 10 análises de um produto mostraram uma média de
e um desvio padrão de
. Podemos concluir que os produdos satisfazem as especificações exigidas a um nível de significância de:
(a) 0,01?; e
(a) 0,01?; e
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado fala sobre verificar se os produtos de uma liga metálica atendem à especificação de ter 23,2% de cobre. A gente tem uma amostra de 10 análises que mostraram uma média de 23,5% e um desvio padrão de 0,24%. Nosso objetivo é ver se podemos concluir que os produtos satisfazem essa especificação com um nível de significância de 0,01. Para isso, vamos usar o teste t de Student, que é adequado quando trabalhamos com amostras pequenas e não conhecemos o desvio padrão da população.
Passo 2
Primeiro, vamos formular as hipóteses do teste. A hipótese nula (
) é que a média da população é igual a 23,2%, ou seja,
. A hipótese alternativa (
) é que a média é diferente de 23,2%, então
. Estamos fazendo um teste bilateral porque queremos saber se a média é diferente, seja pra mais ou pra menos.
Passo 3
Agora, vamos calcular o estatístico t. A fórmula para o teste t é:
Onde:
-
é a média da amostra -
é a média hipotética -
é o desvio padrão da amostra -
é o tamanho da amostra
Vamos substituir os valores:
Passo 4
Em seguida, precisamos determinar o valor crítico do t para nosso nível de significância e graus de liberdade. O nível de significância é
e os graus de liberdade são
.
Consultando uma tabela t de Student ou usando uma calculadora, para
e
, o valor crítico para um teste bilateral é aproximadamente
.
Passo 5
Agora, comparamos o nosso valor t calculado com o valor crítico. Se o valor absoluto do t calculado for maior que o valor crítico, rejeitamos a hipótese nula.
No nosso caso:
Como 3,95 é maior que 3,25, vamos rejeitar a hipótese nula.
Resposta
Sim, podemos concluir que os produtos não satisfazem as especificações exigidas de 23,2% de cobre ao nível de significância de 0,01.