O desvio-padrão dos pesos dos bezerros da fazenda A é de
e da fazenda B é de
. Uma amostra de 15 bezerros da fazenda A apresentou peso médio de
, e uma amostra de 20 bezerros da fazenda B apresentou peso médio de
. Teste ao nível de
a hipótese que os pesos dos bezerros nas duas fazendas são iguais.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um problema que envolve comparar os pesos médios dos bezerros de duas fazendas diferentes, a A e a B. Queremos saber se, com base nas amostras que temos, os pesos médios dos bezerros dessas fazendas são iguais ou não. Para resolver isso, vamos usar Teste de Hipótese para duas médias. Precisamos comparar as médias das duas amostras e verificar se a diferença entre elas é significativa ou apenas por acaso.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as informações que temos:
-
Fazenda A:
- Desvio-padrão (σ₁) = 2,3 kg
- Tamanho da amostra (n₁) = 15
- Média da amostra (x̄₁) = 59,5 kg
-
Fazenda B:
- Desvio-padrão (σ₂) = 2,8 kg
- Tamanho da amostra (n₂) = 20
- Média da amostra (x̄₂) = 61,3 kg
Queremos testar se as médias são iguais, ou seja:
- Hipótese Nula (H₀): μ₁ = μ₂
- Hipótese Alternativa (H₁): μ₁ ≠ μ₂
Passo 3
Como temos os desvios-padrão das populações e as amostras são relativamente pequenas, vamos usar o Teste Z para duas médias. Esse teste nos ajuda a determinar se a diferença entre as médias das duas amostras é estatisticamente significativa.
Passo 4
Vamos calcular o erro padrão da diferença entre as médias. A fórmula é:
Substituindo os valores:
Passo 5
Agora, vamos calcular o valor do teste Z usando a diferença entre as médias das amostras:
Passo 6
Vamos determinar o valor crítico para o nível de significância de 5%. Como é um teste bicaudal (duas caudas), dividimos o alfa por 2:
Consultando a tabela Z, o valor crítico para 0,025 em cada cauda é aproximadamente ±1,96.
Passo 7
Agora, comparamos o valor calculado de Z com os valores críticos:
- Se |Z| > 1,96, rejeitamos a hipótese nula.
- Se |Z| ≤ 1,96, não rejeitamos a hipótese nula.
No nosso caso:
Resposta
Como |Z| ≈ 2,085 é maior que 1,96, rejeitamos a hipótese nula. Assim, há evidências suficientes para afirmar, ao nível de 5%, que os pesos médios dos bezerros nas fazendas A e B são diferentes.