O desvio-padrão da população{2; 4; 2; 4; 2; 4; 2; 4}é:

Passo 1

O enunciado dá a população de valores \{2;4;2;4;2;4;2;4\} e pede o desvio-padrão da população. Informações relevantes:
  • N=8 observações.
  • Os valores são quatro vezes 2 e quatro vezes 4.
  • A pergunta é: calcular o desvio-padrão da população (ou seja, usar divisão por N, não por N-1).

Passo 2

Definição e fórmula do que vamos usar (explicando cada símbolo):
  • A média da população é \mu, dada por
\mu=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N} x_i,
onde x_i são os valores da população e N é o número total de observações.
  • A variância da população é \sigma^2, dada por
\sigma^2=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}(x_i-\mu)^2.
  • O desvio-padrão da população é \sigma, dado por
\sigma=\sqrt{\sigma^2}.
Essas fórmulas significam: primeiro calcula-se a média; depois mede-se o quanto, em média, cada valor difere da média (quadrado das diferenças); faz-se a média desses quadrados (variância) e, por fim, tira-se a raiz para voltar às unidades originais (desvio-padrão).

Passo 3

Calcular a média \mu dos dados. Somando os valores:
\sum_{i=1}^{8} x_i = 2+4+2+4+2+4+2+4 = 24.
Como N=8,
\mu=\frac{24}{8}=3.

Passo 4

Calcular as diferenças em relação à média e seus quadrados. Os dois valores possíveis são:
  • Para x=2: x-\mu=2-3=-1 e (x-\mu)^2=1. Esse valor ocorre 4 vezes.
  • Para x=4: x-\mu=4-3=1 e (x-\mu)^2=1. Esse valor também ocorre 4 vezes.
Somando todos os quadrados das diferenças:
\sum_{i=1}^{8}(x_i-\mu)^2 = 4\cdot 1 + 4\cdot 1 = 8.

Passo 5

Calcular a variância populacional \sigma^2 usando a fórmula:
\sigma^2=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}(x_i-\mu)^2=\frac{8}{8}=1.

Passo 6

Calcular o desvio-padrão populacional \sigma:
\sigma=\sqrt{\sigma^2}=\sqrt{1}=1.

Passo 7

Verificação alternativa (atalho útil na prova): usar \sigma^2=\dfrac{1}{N}\sum x_i^2 - \mu^2.
  • Calcular \sum x_i^2 = 4\cdot 2^2 + 4\cdot 4^2 = 4\cdot 4 + 4\cdot 16 = 16 + 64 = 80.
  • Então \sigma^2 = \dfrac{80}{8} - 3^2 = 10 - 9 = 1, confirma que \sigma=1.

Resposta

1

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