A partir de uma amostra aleatória simples de tamanho n , sabe-se que a média aritmética de uma variável
foi igual a 3 . Considerando que os valores possíveis para a variável
sejam -1 e +4 , julgue o item que se segue.
desvio-padrão amostral da variável
foi igual ou superior a 2 .
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- Foi obtida uma amostra aleatória simples de tamanho
. - A média amostral da variável
vale , isto é . - Os únicos valores possíveis de
são e . - O item a julgar é: “O desvio-padrão amostral da variável
foi igual ou superior a .”
Observação importante (tirada dos dados acima): o enunciado pede que se julgue a veracidade da desigualdade envolvendo o desvio-padrão amostral.
Passo 2
Determinar quantas observações assumem cada valor a partir da média amostral.
Seja
o número de observações que valem
. Então o número de observações que valem
é
. A média amostral é a soma das observações dividida por
, portanto:
Pelo enunciado
. Substituindo:
Multiplicando ambos os lados por
obtemos:
Portanto
é múltiplo de
e
. Em outras palavras, a proporção das observações é:
com valor
e
com valor
. (Nota: isso implica
.)
Passo 3
Calcular as somas dos quadrados das diferenças em relação à média.
Para cada observação com valor
a diferença em relação à média é
e o quadrado dessa diferença é
.
Para cada observação com valor a diferença é
e o quadrado é
.
Para cada observação com valor
A soma total dos quadrados das diferenças é:
Substituindo
:
Passo 4
Usar a fórmula do desvio-padrão amostral e calcular
.
A variância amostral (usando o divisor
) é dada por
Substituindo a soma que encontramos:
Logo o desvio-padrão amostral é
Passo 5
Analisar a expressão obtida e comparar com
.
Note que, para todo inteiro
, tem-se
. Portanto
No caso específico mínimo permitido (lembre-se que
deve ser múltiplo de
, então o menor
é
), temos
À medida que
,
, mas para qualquer
finito válido (e, em particular, para qualquer
múltiplo de
), tem-se
. Portanto a afirmação "igual ou superior a
" é verdadeira — na verdade
é estritamente maior que
para todo
finito.
Passo 6
Conclusão final e comentário amigável.
A partir da média e dos valores possíveis de
deduzimos as proporções fixas das observações e calculamos explicitamente o desvio-padrão amostral, obtendo
, que é maior que
para todo
finito. Logo a afirmação é verdadeira.
Resposta
Verdadeiro.