A partir de uma amostra aleatória simples de tamanho n , sabe-se que a média aritmética de uma variável X foi igual a 3 . Considerando que os valores possíveis para a variável X sejam -1 e +4 , julgue o item que se segue. O desvio-padrão amostral da variável X foi igual ou superior a 2 .

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Foi obtida uma amostra aleatória simples de tamanho n.
  • A média amostral da variável X vale 3, isto é \bar{X}=3.
  • Os únicos valores possíveis de X são -1 e 4.
  • O item a julgar é: “O desvio-padrão amostral da variável X foi igual ou superior a 2.”
Observação importante (tirada dos dados acima): o enunciado pede que se julgue a veracidade da desigualdade envolvendo o desvio-padrão amostral.

Passo 2

Determinar quantas observações assumem cada valor a partir da média amostral.
Seja k o número de observações que valem -1. Então o número de observações que valem 4 é n-k. A média amostral é a soma das observações dividida por n, portanto:
\bar{X}=\frac{k\cdot(-1)+(n-k)\cdot 4}{n}.
Pelo enunciado \bar{X}=3. Substituindo:
3=\frac{-k+4(n-k)}{n}=\frac{-k+4n-4k}{n}=\frac{4n-5k}{n}.
Multiplicando ambos os lados por n obtemos:
3n=4n-5k \quad\Rightarrow\quad n=5k.
Portanto n é múltiplo de 5 e k=\dfrac{n}{5}. Em outras palavras, a proporção das observações é: 1/5 com valor -1 e 4/5 com valor 4. (Nota: isso implica n\ge 5.)

Passo 3

Calcular as somas dos quadrados das diferenças em relação à média.
Para cada observação com valor -1 a diferença em relação à média é -1-3=-4 e o quadrado dessa diferença é 16.
Para cada observação com valor 4 a diferença é 4-3=1 e o quadrado é 1.
A soma total dos quadrados das diferenças é:
\sum_{i=1}^n (x_i-\bar{X})^2 = k\cdot 16 + (n-k)\cdot 1.
Substituindo k=\dfrac{n}{5}:
\sum_{i=1}^n (x_i-\bar{X})^2 = 16\cdot\frac{n}{5} + \left(n-\frac{n}{5}\right)\cdot 1 = \frac{16n}{5} + \frac{4n}{5} = \frac{20n}{5}=4n.

Passo 4

Usar a fórmula do desvio-padrão amostral e calcular s.
A variância amostral (usando o divisor n-1) é dada por
s^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (x_i-\bar{X})^2.
Substituindo a soma que encontramos:
s^2=\frac{1}{n-1}\cdot 4n = \frac{4n}{\,n-1\,}.
Logo o desvio-padrão amostral é
s = 2\sqrt{\frac{n}{\,n-1\,}}.

Passo 5

Analisar a expressão obtida e comparar com 2.
Note que, para todo inteiro n\ge 2, tem-se \dfrac{n}{n-1}>1. Portanto
s = 2\sqrt{\frac{n}{n-1}} > 2.
No caso específico mínimo permitido (lembre-se que n deve ser múltiplo de 5, então o menor n é 5), temos
s = 2\sqrt{\frac{5}{4}} = 2\cdot\sqrt{1{,}25}=2\sqrt{1{,}25}\approx 2{,}236\ldots>2.
À medida que n\to\infty, s\to 2, mas para qualquer n finito válido (e, em particular, para qualquer n múltiplo de 5), tem-se s>2. Portanto a afirmação "igual ou superior a 2" é verdadeira — na verdade s é estritamente maior que 2 para todo n finito.

Passo 6

Conclusão final e comentário amigável.
A partir da média e dos valores possíveis de X deduzimos as proporções fixas das observações e calculamos explicitamente o desvio-padrão amostral, obtendo s=2\sqrt{n/(n-1)}, que é maior que 2 para todo n finito. Logo a afirmação é verdadeira.

Resposta

Verdadeiro.

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