A respeito do conjunto de dados \{11,6,28,51,49,32,33\}, julgue os itens a seguir. Esse conjunto de dados possui variância amostral inferior a 300.

Passo 1

O enunciado dá o conjunto de dados \{11,6,28,51,49,32,33\} e pede para julgar a afirmação: “Esse conjunto de dados possui variância amostral inferior a 300.” Informações relevantes dadas:
  • Os dados são os sete valores listados.
  • A pergunta é uma comparação da variância amostral com o número 300.
    A tarefa é calcular a variância amostral e verificar se ela é menor que 300.

Passo 2

Definição e fórmula (explicação didática).
  • A variância amostral (usada quando os dados são uma amostra) mede a dispersão dos valores em torno da média amostral.
  • Denotando os dados por x_1,\dots,x_n e a média amostral por \bar{x}, a variância amostral s^2 é dada por:
s^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2.
  • Aqui n é o número de observações. Usamos n-1 no denominador (graus de liberdade) para obter um estimador não-viesado da variância da população quando trabalhamos com amostra.

Passo 3

Calcular n e a média amostral \bar{x}.
  • Número de observações: n=7.
  • Soma dos valores: 11+6+28+51+49+32+33.
11+6=17,\quad 17+28=45,\quad 45+51=96,\quad 96+49=145,\quad 145+32=177,\quad 177+33=210.
  • Portanto a soma é 210 e a média é
\bar{x}=\frac{210}{7}=30.

Passo 4

Calcular as diferenças x_i-\bar{x} e seus quadrados (x_i-\bar{x})^2. Mostrar cada um de forma explícita.
  • Para x_1=11: 11-30=-19, (-19)^2=361.
  • Para x_2=6: 6-30=-24, (-24)^2=576.
  • Para x_3=28: 28-30=-2, (-2)^2=4.
  • Para x_4=51: 51-30=21, 21^2=441.
  • Para x_5=49: 49-30=19, 19^2=361.
  • Para x_6=32: 32-30=2, 2^2=4.
  • Para x_7=33: 33-30=3, 3^2=9.

Passo 5

Somar os quadrados das diferenças e calcular a variância amostral.
  • Soma dos quadrados:
361+576+4+441+361+4+9.
Fazendo as somas parciais:
361+576=937,\quad 937+4=941,\quad 941+441=1382,
1382+361=1743,\quad 1743+4=1747,\quad 1747+9=1756.
  • Portanto \sum_{i=1}^{7}(x_i-\bar{x})^2=1756.
  • A variância amostral é
s^2=\frac{1756}{n-1}=\frac{1756}{6}=\frac{878}{3}\approx 292,666\ldots

Passo 6

Comparação com 300.
  • Temos s^2=\dfrac{878}{3}\approx 292,666\ldots.
  • Claramente 292,666\ldots<300.
  • Assim a afirmação do enunciado é satisfeita (a variância amostral é menor que 300).

Resposta

Verdadeiro.

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