Detemine o polinômio característico e os autovalores reais das matrizes abaixo:
[rr-4 & 2 6 & 7]

Passo 1

O enunciado pede para determinarmos o polinômio característico e os autovalores reais da matriz
A = -4 & 2 6 & 7
O conteúdo necessário é saber que o polinômio característico de A é dado por det(A - lambda I) e que os autovalores são as raízes desse polinômio.

Passo 2

Construímos a matriz A - lambda I, onde I é a matriz identidade 2times2:
A - lambda I = -4 & 2 6 & 7 - lambda & 0 0 & lambda = -4 - lambda & 2 6 & 7 - lambda

Passo 3

Calculamos o determinante de A - lambda I:
det(A - lambda I) = (-4 - lambda)(7 - lambda) - (2)(6)
Expandindo,
(-4 - lambda)(7 - lambda) = -28 +4lambda -7lambda +lambda^2 = lambda^2 -3lambda -28,
então
det(A - lambda I) = lambda^2 -3lambda -28 - 12 = lambda^2 -3lambda -40
Esse é o polinômio característico.

Passo 4

Para achar os autovalores, resolvemos lambda^2 -3lambda -40=0. Usando a fórmula de Bhaskara:
lambda = 3 pm raiz(-3)^2 -4cdot1cdot(-40)2 = 3 pm raiz9 +1602 = 3 pm 132
Logo as raízes são
lambda1 = 3 +132 = 8, lambda2 = 3 -132 = -5

Resposta

O polinômio característico é
lambda^2 -3lambda -40
e os autovalores reais são lambda = 8 e lambda = -5.

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