Encontre o polinômio característico de cada matriz usando a expansão em cofatores ou a fórmula especial para deteminantes 3 times 3 aprendida nas notas de aula [Observação: Não é fácil calcular o polinômio característico de uma matriz 3 times 3 usando apenas as operações elementares, pois envolve a variável lambda.]
[lll3 & 0 & 0 2 & 1 & 4 1 & 0 & 4]

Passo 1

O enunciado pede o polinômio característico da matriz
A = 3 & 0 & 0 2 & 1 & 4 1 & 0 & 4
Vamos usar a definição
chiA(lambda) = detl(A - lambda Ir)
e calcular esse determinante por expansão em cofatores, aproveitando zeros na primeira linha.

Passo 2

Formamos
A - lambda I = 3-lambda & 0 & 0 2 & 1-lambda & 4 1 & 0 & 4-lambda
e escolhemos expandir pela primeira linha, já que aí aparecem dois zeros.

Passo 3

A expansão pela primeira linha dá
det(A-lambda I) = (3-lambda), det 1-lambda & 4 0 & 4-lambda -0+0

Passo 4

Calculamos o determinante do 2times2:
det 1-lambda & 4 0 & 4-lambda = (1-lambda)(4-lambda)-4cdot0 = (1-lambda)(4-lambda)
Portanto
chiA(lambda) = (3-lambda),(1-lambda)(4-lambda)

Passo 5

Para obter a forma expandida, primeiro
(1-lambda)(4-lambda) = lambda^2 -5lambda +4,
de modo que
chiA(lambda) = (3-lambda),(lambda^2 -5lambda +4) = -lambda^3 +8lambda^2 -19lambda +12

Resposta

chiA(lambda) = -lambda^3 +8lambda^2 -19lambda +12

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