Sejam A=[ll0,6 & 0,3 0,4 & 0,7], v1[l3 / 7 4 / 7], x0=[l0,5 0,5].
Para k=1,2, ldots defina xk=A^k x0. Calcule x1 e x2, e escreva uma fórmula para xk. Depois mostre que xk v1 quando k fica cada vez maior.

Passo 1

O enunciado dá a matriz de transição
A = 0,6 & 0,3 [6pt] 0,4 & 0,7,
o vetor estacionário proposto
v1=3/7[3pt]4/7
e a condição inicial
x0=0,5[3pt]0,5.
Definimos xk=A^kx0.
Para resolver, vamos (i) calcular x1 e x2, (ii) diagonalizar A para achar uma fórmula geral de xk e (iii) mostrar que xktov1.]

Passo 2

Calculando
x1=A,x0 =0,6 & 0,3 [3pt]0,4 & 0,7 0,5[3pt]0,5 =0,6cdot0,5+0,3cdot0,5[3pt]0,4cdot0,5+0,7cdot0,5 =0,45[3pt]0,55 ]

Passo 3

Em seguida
x2=A,x1 =0,6 & 0,3 [3pt]0,4 & 0,7 0,45[3pt]0,55 =0,6cdot0,45+0,3cdot0,55[3pt]0,4cdot0,45+0,7cdot0,55 =0,435[3pt]0,565 ]

Passo 4

Para achar xk em geral, diagonalizamos A.
Os autovalores são
lambda1=1, lambda2=0,3
O autovetor de lambda1=1 (normalizado para soma 1) é
v1=l(3/7,,4/7r)^T,
e o autovetor de lambda2=0,3 pode ser tomado como
v2=(1,,-1)^T.
Escrevemos a condição inicial como combinação desses vetores:
x0 =v1+tfrac114,v2
Então
xk =A^kx0 =1^k,v1+(0,3)^k,tfrac114,v2 =v1+114(0,3)^k1[3pt]-1 ]

Passo 5

Como l|0,3r|<1, temos (0,3)^kto0 quando ktoinfty. Logo
xk =v1+114(0,3)^k,v2 ;longrightarrow;v1 quando ktoinfty

Resposta

x1=0,450,55 x2=0,4350,565 xk =3/7[3pt]4/7 +114(0,3)^k1[3pt]-1
e
xktov1=3/74/7 quando ktoinfty.]

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