Sejam
[r1 -3 2], v3=[r-1 0 1] e
w=[l1 1 1] .
Mostre que
v1, v2 e
v3 são autovetores de
A ;
Mostre que
Passo 1
O enunciado fornece a matriz
e os vetores
boldsymbol v1=(0,3,,0,6,,0,1)^T ,
boldsymbol v2=(1,,-3,,2)^T ,
boldsymbol v3=(-1,,0,,1)^T .
Pede-se mostrar que cadaboldsymbol vi satisfaz
Pede-se mostrar que cada
para algum escalar
lambdai . O conteúdo é autovalor e autovetor em álgebra linear.
Passo 2
Por definição, um vetor não-nulo
boldsymbol v é autovetor de
A se existir
lambdain R tal que
Nosso objetivo é calcular
Aboldsymbol vi e verificar que o resultado é um múltiplo escalar de
boldsymbol vi .
Passo 3
Calcular
Aboldsymbol v1 :
Logo,
ou seja,
lambda1=1 .
Passo 4
Calcular
Aboldsymbol v2 :
Assim,
logo
lambda2=0,5 .
Passo 5
Calcular
Aboldsymbol v3 :
Portanto,
de onde
lambda3=0,2 .
Resposta
Os cálculos mostram que
boldsymbol v1,boldsymbol v2,boldsymbol v3 são autovetores de
A com autovalores, respectivamente,
lambda1=1 ,
lambda2=0,5 e
lambda3=0,2 .