Sejam A=[rrr0,5 & 0,2 & 0,3 0,3 & 0,8 & 0,3 0,2 & 0 & 0,4], v1=[l0,3 0,6 0,1], v2= [r1 -3 2], v3=[r-1 0 1] e w=[l1 1 1].
Mostre que v1, v2 e v3 são autovetores de A;

Passo 1

O enunciado fornece a matriz
A= 0,5 & 0,2 & 0,3 0,3 & 0,8 & 0,3 0,2 & 0 & 0,4
e os vetores
boldsymbol v1=(0,3,,0,6,,0,1)^T,
boldsymbol v2=(1,,-3,,2)^T,
boldsymbol v3=(-1,,0,,1)^T.
Pede-se mostrar que cada boldsymbol vi satisfaz
A,boldsymbol vi=lambdai,boldsymbol vi
para algum escalar lambdai. O conteúdo é autovalor e autovetor em álgebra linear.

Passo 2

Por definição, um vetor não-nulo boldsymbol v é autovetor de A se existir lambdain R tal que
A,boldsymbol v=lambda,boldsymbol v
Nosso objetivo é calcular Aboldsymbol vi e verificar que o resultado é um múltiplo escalar de boldsymbol vi.

Passo 3

Calcular Aboldsymbol v1:
(Aboldsymbol v1)1&=0,5cdot0,3+0,2cdot0,6+0,3cdot0,1=0,15+0,12+0,03=0,30, (Aboldsymbol v1)2&=0,3cdot0,3+0,8cdot0,6+0,3cdot0,1=0,09+0,48+0,03=0,60, (Aboldsymbol v1)3&=0,2cdot0,3+0cdot0,6+0,4cdot0,1=0,06+0+0,04=0,10
Logo,
Aboldsymbol v1= 0,300,600,10 =1cdot 0,30,60,1 =1,boldsymbol v1,
ou seja, lambda1=1.

Passo 4

Calcular Aboldsymbol v2:
(Aboldsymbol v2)1&=0,5cdot1+0,2cdot(-3)+0,3cdot2=0,5-0,6+0,6=0,5, (Aboldsymbol v2)2&=0,3cdot1+0,8cdot(-3)+0,3cdot2=0,3-2,4+0,6=-1,5, (Aboldsymbol v2)3&=0,2cdot1+0cdot(-3)+0,4cdot2=0,2+0+0,8=1,0
Assim,
Aboldsymbol v2= 0,5-1,51,0 =0,5cdot 1-32 =0,5,boldsymbol v2,
logo lambda2=0,5.

Passo 5

Calcular Aboldsymbol v3:
(Aboldsymbol v3)1&=0,5cdot(-1)+0,2cdot0+0,3cdot1=-0,5+0+0,3=-0,2, (Aboldsymbol v3)2&=0,3cdot(-1)+0,8cdot0+0,3cdot1=-0,3+0+0,3=0, (Aboldsymbol v3)3&=0,2cdot(-1)+0cdot0+0,4cdot1=-0,2+0+0,4=0,2
Portanto,
Aboldsymbol v3= -0,200,2 =0,2cdot -101 =0,2,boldsymbol v3,
de onde lambda3=0,2.

Resposta

Os cálculos mostram que
boldsymbol v1,boldsymbol v2,boldsymbol v3 são autovetores de A com autovalores, respectivamente,
lambda1=1, lambda2=0,5 e lambda3=0,2.

Exercícios relacionados