Detemine o polinômio característico e os autovalores reais das matrizes abaixo:
[rr5 & 3 -4 & 4]

Passo 1

O enunciado pede o polinômio característico e os autovalores reais da matriz
A = 5 & 3 -4 & 4
O conteúdo envolve a definição de polinômio característico pela condição det(A - lambda I)=0 e o estudo de suas raízes para ver se são reais.

Passo 2

Formamos a matriz A - lambda I subtraindo lambda na diagonal:
A - lambda I = 5 - lambda & 3 [6pt] -4 & 4 - lambda
O polinômio característico é dado por
p(lambda) = det(A - lambda I) = (5 - lambda)(4 - lambda) - (3)(-4) ]

Passo 3

Agora expandimos:
(5 - lambda)(4 - lambda) + 12 = (20 - 5lambda - 4lambda + lambda^2) + 12 = lambda^2 - 9lambda + 32
Portanto,
p(lambda) = lambda^2 - 9lambda + 32

Passo 4

Para verificar se há autovalores reais, calculamos o discriminante:
De<a = b^2 - 4ac = (-9)^2 - 4cdot1cdot32 = 81 - 128 = -47
Como De<a<0, as raízes de p(lambda) são complexas e não há autovalores reais.

Resposta

O polinômio característico é
p(lambda) = lambda^2 - 9lambda + 32,
e não há autovalores reais, pois o discriminante é negativo.

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