Sejam A=[rrr0,5 & 0,2 & 0,3 0,3 & 0,8 & 0,3 0,2 & 0 & 0,4], v1=[l0,3 0,6 0,1], v2= [r1 -3 2], v3=[r-1 0 1] e w=[l1 1 1].
Seja x0 qualquer vetor em R^3 com componentes não negativas cuja soma é igual a 1. Explique por que existem constantes c1, c2 e c3 tais que x0=c1 v1+c2 v2+c3 v3. Calcule w^T x0 e deduza que c1=1;

Passo 1

O enunciado dá os vetores
v1=(0,3,0,6,0,1)^T,
v2=(1,-3,2)^T,
v3=(-1,0,1)^T e
w=(1,1,1)^T,
e afirma que x0inR^3 tem componentes não negativas cuja soma é 1.
Precisamos mostrar que existem escalares c1,c2,c3 tais que
x0=c1v1+c2v2+c3v3,
calcular w^Tx0 e deduzir que c1=1.

Passo 2

Mostramos que v1,v2,v3 são linearmente independentes, pois nenhum deles é combinação linear dos outros (por exemplo, o 2.º componente de v1 é 0,6neq -3,lambda+0 para qualquer lambda, logo não expressa v1 por v2,v3). Sendo três vetores independentes em R^3, formam base de R^3. Assim, para qualquer x0inR^3 existe única tripla (c1,c2,c3) com
x0=c1v1+c2v2+c3v3

Passo 3

Calculamos
w^Tx0 =w^Tl(c1v1+c2v2+c3v3r) =c1,w^Tv1 +c2,w^Tv2 +c3,w^Tv3
Mas w^Tv1=0,3+0,6+0,1=1,
w^Tv2=1-3+2=0,
w^Tv3=-1+0+1=0.
Logo
w^Tx0 =c1cdot1+c2cdot0+c3cdot0 =c1

Passo 4

Por outro lado, como x0 tem componentes não negativas que somam 1, temos
w^Tx0 =(1,1,1)cdotx0 =soma das componentes de x0 =1
Comparando com o resultado do passo anterior, conclui-se que
c1=w^Tx0=1

Resposta

c1=1.

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