Sejam [r1 -3 2], v3=[r-1 0 1] e w=[l1 1 1].
Seja x0 qualquer vetor em R^3 com componentes não negativas cuja soma é igual a 1. Explique por que existem constantes c1, c2 e c3 tais que x0=c1 v1+c2 v2+c3 v3. Calcule w^T x0 e deduza que c1=1;
Passo 1
O enunciado dá os vetores v1=(0,3,0,6,0,1)^T, v2=(1,-3,2)^T, v3=(-1,0,1)^T e w=(1,1,1)^T,
e afirma que x0inR^3 tem componentes não negativas cuja soma é 1.
Precisamos mostrar que existem escalares c1,c2,c3 tais que
x0=c1v1+c2v2+c3v3,
calcular w^Tx0 e deduzir que c1=1.
Passo 2
Mostramos que v1,v2,v3 são linearmente independentes, pois nenhum deles é combinação linear dos outros (por exemplo, o 2.º componente de v1 é 0,6neq -3,lambda+0 para qualquer lambda, logo não expressa v1 por v2,v3). Sendo três vetores independentes em R^3, formam base de R^3. Assim, para qualquer x0inR^3 existe única tripla (c1,c2,c3) com