Encontre o polinômio característico de cada matriz usando a expansão em cofatores ou a fórmula especial para deteminantes 3 times 3 aprendida nas notas de aula [Observação: Não é fácil calcular o polinômio característico de uma matriz 3 times 3 usando apenas as operações elementares, pois envolve a variável lambda.]
[rrr6 & -2 & 0 -2 & 9 & 0 5 & 8 & 3]

Passo 1

O enunciado pede o polinômio característico de
A = 6 & -2 & 0 -2 & 9 & 0 5 & 8 & 3
ou seja
p(lambda)=detl(A-lambda Ir)
Para resolver vamos usar a expansão em cofatores numa linha ou coluna com zeros, e a fórmula do determinante de matriz 3times3.

Passo 2

Formamos
A-lambda I = 6-lambda & -2 & 0 -2 & 9-lambda& 0 5 & 8 & 3-lambda
Repare que na terceira coluna há dois zeros, então é conveniente expandir por ela.

Passo 3

Pela expansão de Laplace ao longo da terceira coluna temos
p(lambda) =det(A-lambda I) =(0)cdot C13+(0)cdot C23+(3-lambda)cdot(-1)^3+3det 6-lambda & -2 -2 & 9-lambda ,
onde Cij são os cofatores.

Passo 4

Como (-1)^3+3=1,
p(lambda) =(3-lambda)l[(6-lambda)(9-lambda)-(-2)(-2)r]
No interior,
(6-lambda)(9-lambda)=lambda^2-15lambda+54, (-2)(-2)=4,
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(6-lambda)(9-lambda)-4 =lambda^2-15lambda+50

Passo 5

Portanto
p(lambda) =(3-lambda)l(lambda^2-15lambda+50r) =(3-lambda)(lambda-5)(lambda-10)
Alternativamente, escrevendo em forma expandida,
p(lambda) =-(lambda-3)(lambda-5)(lambda-10) =-lambda^3+18lambda^2-95lambda+150

Resposta

p(lambda)=det(A-lambda I) =(3-lambda)(lambda-5)(lambda-10) =-lambda^3+18lambda^2-95lambda+150

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