Determinar a distância da reta r: x-1-2=y2=z-2-1, ao plano pi: x+y-12=0

Passo 1

O enunciado pede a distância entre a reta
r:x-1-2=y2=z-2-1
e o plano
pi: x+y-12=0
O conteúdo é “distância de reta a plano”. Primeiro vamos ver se a reta é paralela ao plano; se for, a distância é dada pela distância de qualquer ponto da reta ao plano.

Passo 2

Parametrizamos a reta usando o parâmetro t:
x=1-2t, y=2t, z=2-t
Dessa forma o vetor diretor é
v=(-2,2,-1)
O vetor normal do plano pi é
n=(1,1,0)
Para ver se a reta é paralela ao plano, verificamos
ncdotv=1cdot(-2)+1cdot2+0cdot(-1)=0,
logo a reta é paralela ao plano.

Passo 3

Como a reta é paralela ao plano, a distância é a mesma para qualquer ponto da reta. Tomamos t=0 para escolher o ponto
P0=(1,0,2)
A fórmula da distância de P0 ao plano pi: x+y-12=0 é
d=l|ncdot P0-12r||n|,
onde |n|=raiz1^2+1^2+0^2=raiz2.

Passo 4

Calculamos o numerador:
ncdot P0-12=(1cdot1+1cdot0)-12=-11,
então
d=lvert -11rvertraiz2=11raiz2=11raiz22

Resposta

A distância entre a reta e o plano é 11raiz2 (ou 11raiz22).

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