Deter mine o dominio, imagem e esboce gráfico das funções:
f(x, y)=\sqrt{x+y-1}

Passo 1

O enunciado pede três coisas para a função \;f(x,y)=\sqrt{x+y-1}\;: determinar o domínio, determinar a imagem (conjunto de valores que f pode assumir) e esboçar o gráfico.
Informações dadas: a função é definida em \mathbb{R}^2 por \;f(x,y)=\sqrt{x+y-1}\; (radiciação de uma expressão linear em x,y). Não há figuras adicionais no enunciado.

Passo 2

Entendendo o que impede a função de estar definida: a raiz quadrada em \mathbb{R} exige que o argumento seja maior ou igual a zero. Então o requisito para \;f(x,y)\; ser real é
x+y-1 \ge 0.
Isto é a única condição que restringe onde a função está definida.

Passo 3

Escrevendo a condição do passo anterior como região do plano: a desigualdade \;x+y-1\ge 0\; é equivalente a
x+y \ge 1.
Portanto o domínio é o semiplano fechado acima da reta x+y=1. Em forma de conjunto:
\mathrm{Dom}(f)=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x+y\ge 1\}.

Passo 4

Explicando geometricamente o domínio (para você conseguir desenhar na prova): a reta de fronteira é \;x+y=1\;. Para esboçar:
  • desenhe o plano xy;
  • trace a reta x+y=1 (por exemplo interceptos: quando x=0 tem y=1, quando y=0 tem x=1);
  • sombree a parte do plano do lado onde x+y é maior (o semiplano que contém o ponto (1,1)).
    Obs.: como a desigualdade é \ge, a reta faz parte do domínio (é fechada).

Passo 5

Determinando a imagem (range) — passo pedagógico: se (x,y) está no domínio, o argumento da raiz é algum número t\ge 0 com
t = x+y-1 \ge 0,
e então
f(x,y)=\sqrt{t}\ge 0.
Logo todos os valores de f são não-negativos, ou seja f(x,y)\ge 0. Agora precisamos ver se todo z\ge 0 aparece como valor da função. Tome um z_0\ge 0 qualquer. Se escolhermos, por exemplo, os pontos
(x,y)=(1+z_0^2,\,0),
então
x+y-1=(1+z_0^2)+0-1=z_0^2,
e assim
f(1+z_0^2,0)=\sqrt{z_0^2}=z_0.
Portanto qualquer z_0\ge 0 é atingido. Conclusão: a imagem é o intervalo
\mathrm{Im}(f)=[0,\infty).

Passo 6

Comportamento da superfície (para esboçar o gráfico 3D): o gráfico da função é o conjunto dos pontos (x,y,z)\in\mathbb{R}^3 tais que
z=\sqrt{x+y-1},\qquad x+y\ge 1.
Algumas observações úteis para desenhar:
  • Sobre a reta x+y=1 temos z=0, então a superfície toca o plano z=0 ao longo da reta x+y=1.
  • Para linhas paralelas à reta x+y= constante, a superfície tem valores constantes de z. Mais precisamente, as curvas de nível são dadas por
z=c\quad\Longleftrightarrow\quad x+y=1+c^2,
ou seja, para cada c\ge 0 a curva de nível é uma reta paralela a x+y=1 deslocada.

Passo 7

Fatias e forma típica (como se parece ao cortar): se você fixar y=y_0 então a função reduz a uma função univariada em x:
g(x)=f(x,y_0)=\sqrt{x+(y_0-1)}=\sqrt{x+b},
onde b=y_0-1. Esse é o formato clássico de \sqrt{\cdot}: começa em um ponto (quando o argumento se anula) e cresce com concavidade voltada para baixo (taxa de crescimento decresce). Analogamente, fixando x=x_0 tem-se uma raiz quadrada em y. Isso ajuda a desenhar cortes verticais do tipo y=\text{const} ou x=\text{const}.

Passo 8

Derivadas parciais e comportamento junto à fronteira (dica prática para desenhar mais fielmente): calcular as derivadas parciais dá
\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{1}{2\sqrt{x+y-1}},\qquad \frac{\partial f}{\partial y}=\frac{1}{2\sqrt{x+y-1}}.
Isto mostra que, ao aproximar-se da reta x+y=1 (onde o denominador tende a zero), as derivadas parciais tendem para +\infty: a superfície fica muito inclinada (quase vertical) perto da fronteira. Para x+y grande, as derivadas tendem a zero e a superfície fica mais plana.

Passo 9

Como montar um esboço passo a passo para a prova (resumo prático):
  1. No plano xy, desenhe a reta x+y=1 e sombreie o semiplano x+y\ge 1.
  2. Trace a linha sobre o plano z=0 correspondente a essa reta (é a interseção da superfície com z=0).
  3. Para algumas alturas z=c\ge 0 desenhe retas paralelas x+y=1+c^2 no plano xy e levante-as à altura z=c: essas serão as curvas de nível elevadas.
  4. Ligue as curvas de nível com uma superfície suave, lembrando que perto da reta x+y=1 a superfície sobe com inclinação muito alta e, conforme se afasta, ela se torna cada vez mais plana.

Resposta

\displaystyle \mathrm{Dom}(f)=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x+y\ge 1\}
\displaystyle \mathrm{Im}(f)=[0,\infty)
Gráfico: superfície em \mathbb{R}^3 dada por \;z=\sqrt{x+y-1}\;, definida sobre o semiplano x+y\ge 1, tocando o plano z=0 ao longo da reta x+y=1 e com curvas de nível x+y=1+c^2 para c\ge 0.

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