Deter mine o dominio, imagem e esboce gráfico das funções:
Passo 1
O enunciado pede três coisas para a função
: determinar o domínio, determinar a imagem (conjunto de valores que
pode assumir) e esboçar o gráfico.
Informações dadas: a função é definida em por
(radiciação de uma expressão linear em
). Não há figuras adicionais no enunciado.
Informações dadas: a função é definida em
Passo 2
Entendendo o que impede a função de estar definida: a raiz quadrada em
exige que o argumento seja maior ou igual a zero. Então o requisito para
ser real é
Isto é a única condição que restringe onde a função está definida.
Passo 3
Escrevendo a condição do passo anterior como região do plano: a desigualdade
é equivalente a
Portanto o domínio é o semiplano fechado acima da reta
. Em forma de conjunto:
Passo 4
Explicando geometricamente o domínio (para você conseguir desenhar na prova): a reta de fronteira é
. Para esboçar:
- desenhe o plano
; - trace a reta
(por exemplo interceptos: quando tem , quando tem ); - sombree a parte do plano do lado onde
é maior (o semiplano que contém o ponto ).
Obs.: como a desigualdade é, a reta faz parte do domínio (é fechada).
Passo 5
Determinando a imagem (range) — passo pedagógico: se
está no domínio, o argumento da raiz é algum número
com
e então
Logo todos os valores de
são não-negativos, ou seja
. Agora precisamos ver se todo
aparece como valor da função. Tome um
qualquer. Se escolhermos, por exemplo, os pontos
então
e assim
Portanto qualquer
é atingido. Conclusão: a imagem é o intervalo
Passo 6
Comportamento da superfície (para esboçar o gráfico 3D): o gráfico da função é o conjunto dos pontos
tais que
Algumas observações úteis para desenhar:
- Sobre a reta
temos , então a superfície toca o plano ao longo da reta . - Para linhas paralelas à reta
constante, a superfície tem valores constantes de . Mais precisamente, as curvas de nível são dadas por
ou seja, para cada
a curva de nível é uma reta paralela a
deslocada.
Passo 7
Fatias e forma típica (como se parece ao cortar): se você fixar
então a função reduz a uma função univariada em
:
onde
. Esse é o formato clássico de
: começa em um ponto (quando o argumento se anula) e cresce com concavidade voltada para baixo (taxa de crescimento decresce). Analogamente, fixando
tem-se uma raiz quadrada em
. Isso ajuda a desenhar cortes verticais do tipo
ou
.
Passo 8
Derivadas parciais e comportamento junto à fronteira (dica prática para desenhar mais fielmente): calcular as derivadas parciais dá
Isto mostra que, ao aproximar-se da reta
(onde o denominador tende a zero), as derivadas parciais tendem para
: a superfície fica muito inclinada (quase vertical) perto da fronteira. Para
grande, as derivadas tendem a zero e a superfície fica mais plana.
Passo 9
Como montar um esboço passo a passo para a prova (resumo prático):
- No plano
, desenhe a reta e sombreie o semiplano . - Trace a linha sobre o plano
correspondente a essa reta (é a interseção da superfície com ). - Para algumas alturas
desenhe retas paralelas no plano e levante-as à altura : essas serão as curvas de nível elevadas. - Ligue as curvas de nível com uma superfície suave, lembrando que perto da reta
a superfície sobe com inclinação muito alta e, conforme se afasta, ela se torna cada vez mais plana.
Resposta
Gráfico: superfície em