Determina o campo magnético
no centro de uma espira rectangular de lados
e
, percorrido por uma corrente
. Calcule o valor da força resultante que actuará sobre a bobina, se ela estiver ao lado de um fio longo percorrido por uma corrente
(considere
)
Passo 1
O enunciado pede duas coisas claras:
- Determinar o campo magnético no centro de uma espira retangular de lados ) e ) percorrida por uma corrente ).
- Calcular a força resultante que actuará sobre essa bobina se ela estiver ao lado de um fio longo (infinito) percorrido por uma corrente ) (dado )).
Informações dadas (que vamos usar):
- A espira é retangular com lados de comprimentos ) e ), percorrida por uma corrente ).
- Há um fio longo (infinito), paralelo a dois lados da espira, conduzindo corrente ). O problema não dá a distância entre fio e espira, por isso vou introduzir uma variável ) que representa a distância entre o fio e o lado mais próximo da espira (isto é padrão em problemas deste tipo). Não vou pedir mais dados: a resposta ficará em função de ).
- Queremos o campo magnético no centro da espira e a força resultante sobre a espira devido ao fio longo.
Passo 2
Vamos aprender as ferramentas que vamos usar — explicação didática e fórmula que precisamos.
Biot–Savart (resumo útil)
onde
) é a permeabilidade do vácuo,
) é a distância do elemento até
e
) é o versor nessa direção. Para segmentos retos finitos, existe uma forma pronta (muito usada em provas) obtida integrando Biot–Savart:
Campo de um segmento reto finito
Explicando as variáveis:
) é a menor distância do ponto ao segmento (a perpendicular), e
) são os ângulos entre a perpendicular e as retas que ligam o ponto aos dois extremos do segmento. Para um segmento simétrico em relação ao ponto (os dois extremos equidistantes lateralmente),
) e a fórmula vira
.
Força sobre um segmento de fio imerso num campo magnético
onde
) é o ângulo entre a direção da corrente e
). Em nossos casos de segmentos paralelos ao fio infinito,
.
Campo magnético de um fio infinito retilíneo
onde
é a distância perpendicular ao fio.
Passo 3
Geometria para calcular
no centro da espira.
Posicionamento (esquemático que usaremos):
- Coloco a espira no plano
, centrada na origem. - O lado de comprimento
) é paralelo ao eixo
(ou seja, horizontais), e o lado de comprimento ) é paralelo ao eixo (verticais). - O centro da espira é o ponto
na origem; as distâncias do centro até cada lado são ) na direção e ) na direção . - Cada lado é um segmento reto finito; vamos calcular a contribuição de cada um ao campo no centro usando a fórmula do segmento reto.
Observação: pela simetria, o campo resultante no centro será perpendicular ao plano da espira (isto é, na direção
positiva ou negativa, dependendo do sentido da corrente
)). Então basta calcular o módulo e indicar a direção com a regra da mão direita.
Passo 4
Campo devido a um dos lados horizontais (comprimento
), localizado a uma distância
) do centro).
Para um lado horizontal, as retas até os extremos formam ângulos simétricos
) com a perpendicular, onde
O seno desse ângulo é
Usando a fórmula do segmento finito com
e
, o campo produzido por um lado horizontal no centro tem módulo
Passo 5
Contribuição dos dois lados horizontais.
Como há dois lados horizontais (superior e inferior) e ambos produzem campos no centro com o mesmo sentido (pela simetria do circuito), a contribuição total das horizontais é
Como há dois lados horizontais (superior e inferior) e ambos produzem campos no centro com o mesmo sentido (pela simetria do circuito), a contribuição total das horizontais é
Passo 6
Campo devido a um dos lados verticais (comprimento
), localizado a uma distância
) do centro).
Analogamente, para um lado vertical a meia-espinha tem ângulo
e
Aplicando a fórmula do segmento finito com
,
Passo 7
Contribuição dos dois lados verticais.
São dois lados verticais, ambos dando campo com o mesmo sentido no centro, logo
São dois lados verticais, ambos dando campo com o mesmo sentido no centro, logo
Passo 8
Soma das contribuições e resultado para o campo no centro.
Somando horizontais e verticais:
Portanto o módulo do campo no centro é dado por essa expressão. A direcção é perpendicular ao plano da espira: se a corrente
) for no sentido anti-horário vista de cima, o campo aponta para cima (
); se for horário, aponta para baixo (
). Podemos resumir:
onde
) é o versor perpendicular ao plano da espira orientado segundo a regra da mão direita e o sinal
) depende do sentido de
). (Para respostas de prova normalmente basta dar o módulo e indicar a direcção com a regra da mão direita.)
Passo 9
Agora a força resultante quando a espira está ao lado de um fio longo com corrente
).
Configuração padrão que vou usar (padrão em exercícios): os dois lados da espira de comprimento
) são paralelos ao fio infinito. A separação entre esses dois lados é
) (o lado de comprimento
) é a distância entre os dois lados paralelos). Seja
) a distância perpendicular do fio longo até o lado da espira mais próximo. Assim as distâncias do fio aos dois lados paralelos são
) (lado mais próximo) e
) (lado mais distante). Não precisamos conhecer a posição vertical (em
); assumimos tudo no mesmo plano.
Forças nas partes da espira:
- Os lados perpendiculares ao fio (os segmentos de comprimento )) têm corrente perpendicular ao fio longo; o campo do fio nesses trechos é variável e as forças desses trechos tendem a anular-se por simetria (ou dão força nula resultante na direcção radial); portanto não contribuem para a força resultante neta na direcção radial entre fio e espira. Assim as forças importantes são as sobre os dois lados que são paralelos ao fio (os dois lados de comprimento )).
- Campo magnético do fio infinito na distância
é . - Força sobre um segmento paralelo de comprimento
) e corrente
) a distância
do fio:
O sentido: se as correntes forem no mesmo sentido nesse segmento e no fio, a força é de atração (em direcção ao fio); se forem em sentidos opostos, é repulsão (para fora).
Passo 10
Cálculo da força resultante (direcção radial para o fio).
Escolhendo que, na geometria adotada, o lado mais próximo tem corrente no mesmo sentido que o fio (isto é uma escolha consistente — se fosse o contrário trocamos sinais), então:
- Força sobre o lado mais próximo (distância
):
direcção: atração (para o fio).
- Força sobre o lado mais distante (distância
):
direcção: como a corrente nesse lado é oposta à do lado próximo (fechamento da espira), a força sobre este lado é de sentido contrário à de
(ou seja, se
atrai para o fio,
repele para fora).
A força resultante radial (tomando positiva em direcção ao fio) é então
Isto é um valor positivo (atração líquida para o fio) enquanto
. Note que o facto de
não é necessário para a forma desta expressão; ele só garante magnitude maior de campo do fio, mas a expressão é válida para quaisquer correntes com sinais dados.