Determina o campo magnético \vec{B} no centro de uma espira rectangular de lados \boldsymbol{a} e \boldsymbol{b}, percorrido por uma corrente I_{1}. Calcule o valor da força resultante que actuará sobre a bobina, se ela estiver ao lado de um fio longo percorrido por uma corrente I_{2} (considere I_{2}>I_{1} )

Passo 1

O enunciado pede duas coisas claras:
  1. Determinar o campo magnético no centro de uma espira retangular de lados \(a) e \(b) percorrida por uma corrente \(I_{1}).
  2. Calcular a força resultante que actuará sobre essa bobina se ela estiver ao lado de um fio longo (infinito) percorrido por uma corrente \(I_{2}) (dado \(I_{2}>I_{1})).
Informações dadas (que vamos usar):
  • A espira é retangular com lados de comprimentos \(a) e \(b), percorrida por uma corrente \(I_{1}).
  • Há um fio longo (infinito), paralelo a dois lados da espira, conduzindo corrente \(I_{2}). O problema não dá a distância entre fio e espira, por isso vou introduzir uma variável \(d) que representa a distância entre o fio e o lado mais próximo da espira (isto é padrão em problemas deste tipo). Não vou pedir mais dados: a resposta ficará em função de \(d).
  • Queremos o campo magnético no centro da espira e a força resultante sobre a espira devido ao fio longo.

Passo 2

Vamos aprender as ferramentas que vamos usar — explicação didática e fórmula que precisamos.
Biot–Savart (resumo útil)
\text{O campo magnético gerado por um elemento de corrente } I\,d\vec{\ell}\\ \text{no ponto }P\\ \text{é}éé
d\vec{B}=\frac{\mu_{0}}{4\pi}\,\frac{I\,d\vec{\ell}\times \hat{r}}{r^{2}},
onde \(\mu_{0}) é a permeabilidade do vácuo, \(r) é a distância do elemento até P e \(\hat{r}) é o versor nessa direção. Para segmentos retos finitos, existe uma forma pronta (muito usada em provas) obtida integrando Biot–Savart:
Campo de um segmento reto finito
\text{Se um fio retilíneo com corrente }I\text{ tem uma distância perpendicular }R\text{ até o ponto }Píâé
\text{e subtende ângulos } \theta_{1}\text{ e }\theta_{2}\text{ medidos a partir da perpendicular até as linhas que vão aos extremos,}âéã
\text{então}ã
\boxed{\;B=\frac{\mu_{0}I}{4\pi R}\,(\sin\theta_{1}+\sin\theta_{2})\;}
Explicando as variáveis: \(R) é a menor distância do ponto ao segmento (a perpendicular), e \(\theta_{1},\theta_{2}) são os ângulos entre a perpendicular e as retas que ligam o ponto aos dois extremos do segmento. Para um segmento simétrico em relação ao ponto (os dois extremos equidistantes lateralmente), \(\theta_{1}=\theta_{2}=\theta) e a fórmula vira B=\dfrac{\mu_{0}I}{4\pi R}\cdot 2\sin\theta.
Força sobre um segmento de fio imerso num campo magnético
\text{Para um fio retilíneo de comprimento }L\text{ com corrente }I\text{ em um campo } \vec{B}í
\text{o módulo da força é }F=I\,L\,B\sin\alpha,óçé
onde \(\alpha) é o ângulo entre a direção da corrente e \(\vec{B}). Em nossos casos de segmentos paralelos ao fio infinito, \sin\alpha=1.
Campo magnético de um fio infinito retilíneo
\boxed{\;B_{\text{fio}}(r)=\frac{\mu_{0}I_{2}}{2\pi r}\;}
onde r é a distância perpendicular ao fio.

Passo 3

Geometria para calcular \vec{B} no centro da espira.
Posicionamento (esquemático que usaremos):
  • Coloco a espira no plano xy, centrada na origem.
  • O lado de comprimento \(a) é paralelo ao eixo x (ou seja, horizontais), e o lado de comprimento \(b) é paralelo ao eixo y (verticais).
  • O centro da espira é o ponto O na origem; as distâncias do centro até cada lado são \(a/2) na direção x e \(b/2) na direção y.
  • Cada lado é um segmento reto finito; vamos calcular a contribuição de cada um ao campo no centro usando a fórmula do segmento reto.
Observação: pela simetria, o campo resultante no centro será perpendicular ao plano da espira (isto é, na direção z positiva ou negativa, dependendo do sentido da corrente \(I_{1})). Então basta calcular o módulo e indicar a direção com a regra da mão direita.

Passo 4

Campo devido a um dos lados horizontais (comprimento \(a), localizado a uma distância \(R=b/2) do centro).
Para um lado horizontal, as retas até os extremos formam ângulos simétricos \(\pm\theta) com a perpendicular, onde
\theta=\arctan\!\biggl(\frac{a/2}{b/2}\biggr)=\arctan\!\biggl(\frac{a}{b}\biggr).
O seno desse ângulo é
\sin\theta=\frac{a/2}{\sqrt{(a/2)^{2}+(b/2)^{2}}}=\frac{a}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}.
Usando a fórmula do segmento finito com R=b/2 e \sin\theta_{1}+\sin\theta_{2}=2\sin\theta, o campo produzido por um lado horizontal no centro tem módulo
B_{\text{h,1}}=\frac{\mu_{0}I_{1}}{4\pi (b/2)}\cdot 2\sin\theta =\frac{\mu_{0}I_{1}}{\pi b}\cdot\frac{a}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}.

Passo 5

Contribuição dos dois lados horizontais.
Como há dois lados horizontais (superior e inferior) e ambos produzem campos no centro com o mesmo sentido (pela simetria do circuito), a contribuição total das horizontais é
B_{\text{h,tot}}=2B_{\text{h,1}}=2\cdot\frac{\mu_{0}I_{1}}{\pi b}\cdot\frac{a}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} =\frac{2\mu_{0}I_{1}}{\pi}\cdot\frac{a}{b\sqrt{a^{2}+b^{2}}}.

Passo 6

Campo devido a um dos lados verticais (comprimento \(b), localizado a uma distância \(R=a/2) do centro).
Analogamente, para um lado vertical a meia-espinha tem ângulo
\varphi=\arctan\!\biggl(\frac{b/2}{a/2}\biggr)=\arctan\!\biggl(\frac{b}{a}\biggr),
e
\sin\varphi=\frac{b}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}.
Aplicando a fórmula do segmento finito com R=a/2,
B_{\text{v,1}}=\frac{\mu_{0}I_{1}}{4\pi (a/2)}\cdot 2\sin\varphi =\frac{\mu_{0}I_{1}}{\pi a}\cdot\frac{b}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}.

Passo 7

Contribuição dos dois lados verticais.
São dois lados verticais, ambos dando campo com o mesmo sentido no centro, logo
B_{\text{v,tot}}=2B_{\text{v,1}} =2\cdot\frac{\mu_{0}I_{1}}{\pi a}\cdot\frac{b}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} =\frac{2\mu_{0}I_{1}}{\pi}\cdot\frac{b}{a\sqrt{a^{2}+b^{2}}}.

Passo 8

Soma das contribuições e resultado para o campo no centro.
Somando horizontais e verticais:
B_{\text{total}}=B_{\text{h,tot}}+B_{\text{v,tot}} =\frac{2\mu_{0}I_{1}}{\pi\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right).
Portanto o módulo do campo no centro é dado por essa expressão. A direcção é perpendicular ao plano da espira: se a corrente \(I_{1}) for no sentido anti-horário vista de cima, o campo aponta para cima ( +\hat{z}); se for horário, aponta para baixo ( -\hat{z}). Podemos resumir:
\boxed{\;\vec{B}(O)=\pm\frac{2\mu_{0}I_{1}}{\pi\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\Bigl(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\Bigr)\,\hat{n}\;}
onde \(\hat{n}) é o versor perpendicular ao plano da espira orientado segundo a regra da mão direita e o sinal \(\pm) depende do sentido de \(I_{1}). (Para respostas de prova normalmente basta dar o módulo e indicar a direcção com a regra da mão direita.)

Passo 9

Agora a força resultante quando a espira está ao lado de um fio longo com corrente \(I_{2}).
Configuração padrão que vou usar (padrão em exercícios): os dois lados da espira de comprimento \(b) são paralelos ao fio infinito. A separação entre esses dois lados é \(a) (o lado de comprimento \(a) é a distância entre os dois lados paralelos). Seja \(d) a distância perpendicular do fio longo até o lado da espira mais próximo. Assim as distâncias do fio aos dois lados paralelos são \(d) (lado mais próximo) e \(d+a) (lado mais distante). Não precisamos conhecer a posição vertical (em z); assumimos tudo no mesmo plano.
Forças nas partes da espira:
  • Os lados perpendiculares ao fio (os segmentos de comprimento \(a)) têm corrente perpendicular ao fio longo; o campo do fio nesses trechos é variável e as forças desses trechos tendem a anular-se por simetria (ou dão força nula resultante na direcção radial); portanto não contribuem para a força resultante neta na direcção radial entre fio e espira. Assim as forças importantes são as sobre os dois lados que são paralelos ao fio (os dois lados de comprimento \(b)).
  • Campo magnético do fio infinito na distância r é B_{\text{fio}}(r)=\dfrac{\mu_{0}I_{2}}{2\pi r}.
  • Força sobre um segmento paralelo de comprimento \(b) e corrente \(I_{1}) a distância r do fio:
F(r)=I_{1}\,b\,B_{\text{fio}}(r)=I_{1}\,b\cdot\frac{\mu_{0}I_{2}}{2\pi r}=\frac{\mu_{0}I_{1}I_{2}b}{2\pi r}.
O sentido: se as correntes forem no mesmo sentido nesse segmento e no fio, a força é de atração (em direcção ao fio); se forem em sentidos opostos, é repulsão (para fora).

Passo 10

Cálculo da força resultante (direcção radial para o fio).
Escolhendo que, na geometria adotada, o lado mais próximo tem corrente no mesmo sentido que o fio (isto é uma escolha consistente — se fosse o contrário trocamos sinais), então:
  • Força sobre o lado mais próximo (distância d):
F_{1}=\frac{\mu_{0}I_{1}I_{2}b}{2\pi d},
direcção: atração (para o fio).
  • Força sobre o lado mais distante (distância d+a):
F_{2}=\frac{\mu_{0}I_{1}I_{2}b}{2\pi (d+a)},
direcção: como a corrente nesse lado é oposta à do lado próximo (fechamento da espira), a força sobre este lado é de sentido contrário à de F_{1} (ou seja, se F_{1} atrai para o fio, F_{2} repele para fora).
A força resultante radial (tomando positiva em direcção ao fio) é então
F_{\text{res}}=F_{1}-F_{2} =\frac{\mu_{0}I_{1}I_{2}b}{2\pi}\left(\frac{1}{d}-\frac{1}{d+a}\right).
Isto é um valor positivo (atração líquida para o fio) enquanto d>0. Note que o facto de I_{2}>I_{1} não é necessário para a forma desta expressão; ele só garante magnitude maior de campo do fio, mas a expressão é válida para quaisquer correntes com sinais dados.

Resposta

\displaystyle \vec{B}(O)=\pm\frac{2\mu_{0}I_{1}}{\pi\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\Bigl(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\Bigr)\,\hat{n}\newline
\displaystyle F_{\text{res}}=\frac{\mu_{0}I_{1}I_{2}b}{2\pi}\left(\frac{1}{d}-\frac{1}{d+a}\right)

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