Determina o domínio das funções
f(x)=\frac{\sqrt{x^{2}-4}}{3-\sqrt{9-2 x}}}

Passo 1

O enunciado pede o domínio de
f(x)=\frac{\sqrt{x^{2}-4}}{3-\sqrt{9-2x}}.
Para isso vamos impor:
  1. Existência de cada radicando (argumento da raiz quadrada) não negativo.
  2. Denominador diferente de zero.

Passo 2

Para a raiz \sqrt{x^{2}-4} exigimos
x^{2}-4\ge 0
o que leva a
x\le -2\quad\text{ou}\quad x\ge 2.

Passo 3

Para a raiz \sqrt{9-2x} exigimos
9-2x\ge 0
ou seja
x\le \tfrac{9}{2}.

Passo 4

O denominador não pode anular, logo
3-\sqrt{9-2x}\neq 0 \sqrt{9-2x}\neq 3 9-2x\neq 9 x\neq 0. Como 0 não está em (-\infty,-2]\cup[2,\tfrac{9}{2}], não há exclusão adicional.

Passo 5

Unindo as condições de existência das raízes e a restrição sobre o denominador, obtemos
x\le -2 \quad\cup\quad 2\le x\le \tfrac{9}{2}.

Resposta

D_{f}=(-\infty,-2]\cup\bigl[2,\tfrac{9}{2}\bigr].

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