Determina o domínio das funções
f(x)=\sqrt{\frac{25-x^{2}}{x^{2}-6 x-7}}}

Passo 1

O enunciado pede o domínio de
f(x)=\sqrt{\frac{25 - x^{2}}{x^{2} - 6x - 7}}.
Para isso precisamos garantir dois pontos:
  1. O denominador não pode ser zero.
  2. O radicando (o que está dentro da raiz) deve ser maior ou igual a zero.

Passo 2

Vamos fatorar numerador e denominador do radicando:
25 - x^{2} = (5 - x)(5 + x),
x^{2} - 6x - 7 = (x - 7)(x + 1).
Logo o radicando fica
\frac{25 - x^{2}}{x^{2} - 6x - 7} = \frac{(5 - x)(5 + x)}{(x - 7)(x + 1)}.

Passo 3

Os zeros do numerador são x=-5 e x=5; os zeros do denominador são x=-1 e x=7. Esses valores particionam a reta em cinco intervalos:
(-\infty,-5),\;(-5,-1),\;(-1,5),\;(5,7),\;(7,\infty).
Não podemos incluir x=-1 nem x=7 no domínio, pois o denominador zera aí.

Passo 4

Em cada intervalo analisamos o sinal de \tfrac{(5 - x)(5 + x)}{(x - 7)(x + 1)} por um valor teste:
- Em x<-5 (ex.: x=-6): numerador negativo, denominador positivo ⇒ razão negativa (descarta).
- Em -5<x<-1 (ex.: x=-2): numerador positivo, denominador positivo ⇒ razão positiva (aceita).
- Em -1<x<5 (ex.: x=0): numerador positivo, denominador negativo ⇒ razão negativa (descarta).
- Em 5<x<7 (ex.: x=6): numerador negativo, denominador negativo ⇒ razão positiva (aceita).
- Em x>7 (ex.: x=8): numerador negativo, denominador positivo ⇒ razão negativa (descarta).
Nos pontos x=-5 e x=5 o numerador zera, então o radicando vale zero e a raiz está bem definida. Em x=-1 ou x=7 zera o denominador, aí é proibido.

Passo 5

Juntando tudo, o radicando é \ge0 exatamente em [-5,-1)\cup[5,7).

Resposta

O domínio de f é
\boxed{[-5,-1)\;\cup\;[5,7)}.

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