Determina o domínio das funções
y=\sqrt{\frac{x-1}{x+2}}}

Passo 1

O enunciado pede o domínio da função
y = \sqrt{\frac{x-1}{x+2}}.
Aqui vamos usar que, para estar dentro da raiz quadrada real, o quociente \frac{x-1}{x+2} precisa ser maior ou igual a zero, e ainda devemos garantir que o denominador não seja zero x+2\neq0.

Passo 2

Escrevemos as condições que definem o domínio:
\frac{x-1}{x+2}\ge0 \quad\text{e}\quad x+2\neq0.

Passo 3

Para resolver
\frac{x-1}{x+2}\ge0
identificamos os pontos críticos:
x=1\quad(\text{zero do numerador}), \quad x=-2\quad(\text{zero do denominador, excluído}).í
Fazendo análise de sinais nos intervalos:
  • Para x<-2: numerador x-1<0, denominador x+2<0 ⇒ quociente >0.
  • Para -2<x<1: numerador x-1<0, denominador x+2>0 ⇒ quociente <0.
  • Para x>1: numerador x-1>0, denominador x+2>0 ⇒ quociente >0.
    Em x=1 o quociente é zero, o que satisfaz “ \ge0”. Já x=-2 é proibido porque anula o denominador.

Passo 4

Juntando tudo, a solução da inequação com a exclusão de x=-2 é
(-\infty,-2)\cup[1,\infty).

Resposta

(-\infty,-2)\cup[1,\infty)

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