Determina o domínio das funções
y=\sqrt{\frac{x^{2}-1}{x}+2}

Passo 1

O enunciado pede o domínio da função
y = \sqrt{\frac{x^{2}-1}{x} + 2}.
Aqui vamos precisar garantir duas coisas:
  1. O denominador não pode ser zero, ou seja x \neq 0.
  2. O radicando deve ser não negativo:
\frac{x^{2}-1}{x} + 2 \;\ge\; 0.

Passo 2

Impondo x\neq 0 e
\frac{x^{2}-1}{x} + 2 \;\ge\; 0,
temos a condição principal de domínio.

Passo 3

Vamos unir em um só quociente o radicando:
\frac{x^{2}-1}{x} + 2 = \frac{x^{2}-1 + 2x}{x} = \frac{x^{2} + 2x - 1}{x}.

Passo 4

Precisamos resolver a desigualdade
\frac{x^{2} + 2x - 1}{x} \;\ge\; 0,
com x\neq 0. Primeiro achamos as raízes do numerador:
x^{2} + 2x - 1 = 0 \quad\Longrightarrow\quad x = -1 \pm \sqrt{2}.
Denominador zera em x=0. Os pontos críticos são, portanto,
a_1 = -1 - \sqrt{2}, \quad a_2 = -1 + \sqrt{2}, \quad 0.

Passo 5

Fazendo o estudo de sinais em cada intervalo determinado por a_1< a_2<0, vemos que
  • Em (-\infty,a_1): quociente negativo.
  • Em [a_1,0): quociente não negativo (inclusive zero em x=a_1).
  • Em (0,a_2): quociente negativo.
  • Em [a_2,\infty): quociente não negativo (zero em x=a_2).
    Lembrando que x=0 está excluído.

Resposta

O domínio é
\bigl[-1 - \sqrt{2},\,0\bigr)\;\cup\;\bigl[\sqrt{2}-1,\;\infty\bigr).

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