Determina o domínio das funções
f(x)=\sqrt[3]{\frac{3}{2 x^{2}-x}}-\sqrt{\frac{x}{x^{2}-4}}

Passo 1

Resumindo, queremos o domínio de
f(x)=\sqrt[3]{\frac{3}{2x^{2}-x}}\;-\;\sqrt{\frac{x}{x^{2}-4}}.
O conteúdo aqui é análise de domínio:
  1. Para \sqrt[3]{\cdot}, o único cuidado é não zerar o denominador de \frac{3}{2x^2-x}.
  2. Para \sqrt{\cdot}, precisamos que o radicando seja não-negativo e seu próprio denominador não se anule.

Passo 2

Domínio da parte \sqrt[3]{\frac{3}{2x^{2}-x}}: basta exigir
2x^{2}-x\neq 0 \quad\Longrightarrow\quad x(2x-1)\neq 0 \quad\Longrightarrow\quad x\neq 0,\;x\neq \tfrac12.

Passo 3

Domínio da parte \sqrt{\frac{x}{x^{2}-4}}: precisamos
\frac{x}{x^{2}-4}\ge 0 \quad\text{e}\quad x^{2}-4\neq 0.
Note que x^{2}-4>0 se |x|>2 e x^{2}-4<0 se |x|<2.
  • Se |x|>2: denom >0, então \frac{x}{x^{2}-4}\ge0 equivale a x\ge0, ou seja x>2.
  • Se |x|<2: denom <0, então \frac{x}{x^{2}-4}\ge0 equivale a x\le0, ou seja -2<x\le0.
    Além disso excluímos x=\pm2 (denom zero).
    Logo este domínio é
(-2,0]\;\cup\;(2,\infty).

Passo 4

Interseccionando as duas partes:
  • De \sqrt[3]{\cdot} temos x\neq 0,\;x\neq\tfrac12.
  • De \sqrt{\cdot} temos x\in(-2,0]\cup(2,\infty).
    Removendo x=0 (e 1/2 que já não está em (-2,0]\cup(2,\infty)), fica
(-2,0)\;\cup\;(2,\infty).

Resposta

\boxed{(-2,0)\;\cup\;(2,\infty)}.

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