Um pedaço de gelo desliza sobre um plano inclinado rugoso de 10^{\circ} com a horizontal, gastando o dobro do tempo que ele necessitaria para descer um plano inclinado idêntico só que sem atrito. Considere a aceleração da gravidade g=9.80 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-2}.
Qual é o coeciente de atrito cinético entre o plano inclinado e o gelo?
\square
Dê sua resposta com duas casas decimais de precisão, e use o ponto como separador decimal. Não esqueça as unidades físicas, se pertinente.

Passo 1

O enunciado diz que um bloco de gelo desliza por um plano inclinado de ângulo \theta=10^\circ. No caso sem atrito, ele levaria um tempo t_0 para percorrer uma certa distância L. Com atrito cinético, o tempo é o dobro: t=2t_0. Precisamos encontrar o coeficiente de atrito cinético \mu_k.

Passo 2

No plano sem atrito, a aceleração é
a_0 = g\sin\theta
e o tempo para percorrer L partindo do repouso é
t_0 = \sqrt{\frac{2L}{a_0}} = \sqrt{\frac{2L}{g\sin\theta}}.

Passo 3

No plano com atrito, a aceleração resultante é
a = g\sin\theta - \mu_k g\cos\theta = g\bigl(\sin\theta - \mu_k\cos\theta\bigr),
e o tempo para percorrer L é
t = \sqrt{\frac{2L}{a}}.
Como t = 2t_0, temos
\sqrt{\frac{2L}{a}} = 2\sqrt{\frac{2L}{g\sin\theta}} \quad\Longrightarrow\quad \frac1{\sqrt{a}} = \frac2{\sqrt{g\sin\theta}} \quad\Longrightarrow\quad a = \frac{g\sin\theta}{4}.

Passo 4

Igualando as duas expressões de a,
g\bigl(\sin\theta - \mu_k\cos\theta\bigr) = \frac{g\sin\theta}{4} \quad\Longrightarrow\quad \sin\theta - \mu_k\cos\theta = \frac{\sin\theta}{4} \quad\Longrightarrow\quad \mu_k\cos\theta = \frac{3\sin\theta}{4}
\Longrightarrow\quad \mu_k = \frac{3}{4}\,\tan\theta.

Passo 5

Substituindo \theta=10^\circ:
\mu_k = \frac{3}{4}\,\tan\bigl(10^\circ\bigr) \approx \frac{3}{4}\times0{,}1763 \approx 0{,}1322.

Resposta

O coeficiente de atrito cinético é aproximadamente
\mu_k = 0{,}13
(adimensional).

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