Determinação da inversa de uma matriz Nos Exercícios 7-30, encontre a inversa da matriz (se existir).
[rrrr4 & 8 & -7 & 14 2 & 5 & -4 & 6 0 & 2 & 1 & -7 3 & 6 & -5 & 10]

Passo 1

O enunciado pede a inversa de
A= 4 & 8 & -7 & 14 2 & 5 & -4 & 6 0 & 2 & 1 & -7 3 & 6 & -5 & 10
Vamos usar o método de Gauss–Jordan: montamos [Amid I] e aplicamos operações elementares até obter [Imid A^-1].

Passo 2

Começamos por zerar abaixo de a11=4. A matriz aumentada inicial é
[cccc|cccc 4 &8 &-7 &14 &1 &0 &0 &0 2 &5 &-4 &6 &0 &1 &0 &0 0 &2 &1 &-7 &0 &0 &1 &0 3 &6 &-5 &10 &0 &0 &0 &1 ]
Fazemos
R2 R2-tfrac12R1, R4 R4-tfrac34R1
ficando
[cccc|cccc 4 &8 &-7 &14 &1 &0 &0 &0 0 &1 &-tfrac12 &-1 &-tfrac12 &1 &0 &0 0 &2 &1 &-7 &0 &0 &1 &0 0 &0 &tfrac14 &-tfrac12 &-tfrac34 &0 &0 &1 ]

Passo 3

Agora zeramos na coluna 2 acima e abaixo de 1 em R2:
R1 R1-8R2, R3 R3-2R2
O resultado é
[cccc|cccc 4 &0 &-3 &22 &5 &-8 &0 &0 0 &1 &-tfrac12 &-1 &-tfrac12 &1 &0 &0 0 &0 &2 &-5 &1 &-2 &1 &0 0 &0 &tfrac14 &-tfrac12 &-tfrac34 &0 &0 &1 ]

Passo 4

Em seguida pivotamos em R3 dividindo por 2 e usamos para zerar a coluna 3 em R1,R2,R4:
R3 tfrac12R3, R1 R1+3R3, R2 R2+tfrac12R3, R4 R4-tfrac14R3
Fica
[cccc|cccc 4 &0 &0 &tfrac292 &tfrac132 &-11 &tfrac32 &0 0 &1 &0 &-tfrac94 &-tfrac14 &tfrac12 &tfrac14 &0 0 &0 &1 &-tfrac52 &tfrac12 &-1 &tfrac12 &0 0 &0 &0 &tfrac18 &-tfrac78 &tfrac14 &-tfrac18 &1 ]

Passo 5

Finalmente pivotamos em R4 multiplicando por 8 e usamos para zerar a coluna 4 em R1,R2,R3:
R4 8R4, R1 R1-tfrac292R4, R2 R2+tfrac94R4, R3 R3+tfrac52R4
Isso gera
[cccc|cccc 4 &0 &0 &0 &108 &-40 &16 &-116 0 &1 &0 &0 &-16 &5 &-2 &18 0 &0 &1 &0 &-17 &4 &-2 &20 0 &0 &0 &1 &-7 &2 &-1 &8 ]

Passo 6

Só falta dividir R1 por 4 para obter o pivô 1:
R1 tfrac14R1 Longrightarrow [cccc|cccc 1 &0 &0 &0 &27 &-10 &4 &-29 0 &1 &0 &0 &-16 &5 &-2 &18 0 &0 &1 &0 &-17 &4 &-2 &20 0 &0 &0 &1 &-7 &2 &-1 &8 ]
Agora o bloco da esquerda é I4 e o da direita é A^-1.

Resposta

A^-1= 27 & -10 & 4 & -29 -16 & 5 & -2 & 18 -17 & 4 & -2 & 20 -7 & 2 & -1 & 8

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