Determinação da inversa de uma matriz Nos Exercícios 7-30, encontre a inversa da matriz (se existir).
[rrrr1 & 3 & -2 & 0 0 & 2 & 4 & 6 0 & 0 & -2 & 1 0 & 0 & 0 & 5]

Passo 1

O enunciado pede a inversa da matriz
A = 1 & 3 & -2 & 0 0 & 2 & 4 & 6 0 & 0 & -2 & 1 0 & 0 & 0 & 5
Aqui usamos o conteúdo de matrizes triangulares: sabemos que a inversa de uma matriz triangular superior é também triangular superior e podemos encontrar suas entradas por back-substitution.

Passo 2

Primeiro, verificamos se A é invertível. Como A é triangular superior,
det(A)=1cdot2cdot(-2)cdot5neq0,
logo existe A^-1.

Passo 3

Sabendo que A^-1=(vij) é triangular superior, suas entradas diagonais são simplesmente os recíprocos de aii, e para i<j vale a fórmula
vij = -1aiisumk=i+1^jaik,vkj

Passo 4

Aplicando na diagonal ( i=j) obtemos
v11=11=1, v22=12, v33=1-2=-12, v44=15

Passo 5

Agora calculamos as entradas da primeira superdiagonal ( j=i+1):
v12=-11,a12,v22=-1cdot3cdot12=-32,
v23=-12,a23,v33=-12cdot4cdotl(-12r)=1,
v34=-1-2,a34,v44=12cdot1cdot15=110

Passo 6

Em seguida, as entradas com j=i+2:
v13=-11l(a12v23+a13v33r) =-l(3cdot1+(-2)cdot(-tfrac12)r) =-l(3+1r)=-4,
v24=-12l(a23v34+a24v44r) =-12l(4cdottfrac110+6cdottfrac15r) =-12cdot85 =-45

Passo 7

Finalmente, a entrada com j=i+3:
v14=-11l(a12v24+a13v34+a14v44r) =-l(3cdot(-tfrac45)+(-2)cdottfrac110+0cdottfrac15r) =-l(-tfrac125-tfrac15r) =135

Resposta

A^-1 = 1 & -32 & -4 & 135 0 & 12 & 1 & -45 0 & 0 & -12 & 110 0 & 0 & 0 & 15

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