Resolução de uma equação matricial Nos Exercícios 57 e 58, encontre A.
(4 A)^-1=[rr2 & 4 -3 & 2]

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a matriz A tal que
(4A)^-1 = 2 & 4-3 & 2
O conteúdo principal aqui é a propriedade de inversa de produto e de escalar em matrizes: (lambda M)^-1 = tfrac1lambda M^-1.

Passo 2

Aplicamos a propriedade de inversa de escalar para escrever
(4A)^-1 = tfrac14 A^-1
Como isso deve ser igual à matriz dada M = 2 & 4-3 & 2, temos
tfrac14 A^-1 = M Longrightarrow A^-1 = 4M

Passo 3

Agora vamos inverter A^-1 para obter A. Como A^-1 = 4M, então
A = (A^-1)^-1 = (4M)^-1
Usando de novo a propriedade de escalar, (4M)^-1 = tfrac14 M^-1. Logo
A = tfrac14 M^-1

Passo 4

Calcular M^-1 para
M = 2 & 4-3 & 2
O determinante é
det(M) = 2cdot2 - (4cdot(-3)) = 4 + 12 = 16
A matriz adjunta (matriz dos cofatores transposta) é
2 & -43 & 2,
logo
M^-1 = 1162 & -43 & 2

Passo 5

Finalmente,
A = tfrac14M^-1 = 14cdot1162 & -43 & 2 = 1642 & -43 & 2 = tfrac264 & tfrac-464[6pt]tfrac364 & tfrac264 = tfrac132 & -tfrac116[3pt]tfrac364 & tfrac132 ]

Resposta

A = tfrac132 & -tfrac116[3pt] tfrac364 & tfrac132 ]

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