Determinação da inversa de uma matriz 2 times 2 Nos Exercícios 31-36, use a fórmula na página 66 para encontrar o inversa da matriz 2 times 2 (se existir).
[rr72 & -34 15 & 45]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a inversa de uma matriz 2 times 2 . Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, onde a gente aprende sobre matrizes e suas propriedades. Para resolver, vamos precisar usar a fórmula da inversa de uma matriz 2 times 2 .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para encontrar a inversa de uma matriz 2 times 2 . Se a matriz for:
A = a & b c & d
A inversa de A , se existir, é dada por:
A^-1 = 1det(A) d & -b -c & a
Onde det(A) é o determinante da matriz A .

Passo 3

Agora, vamos calcular o determinante da matriz dada:
A = 72 & -34 15 & 45
O determinante é calculado assim:
det(A) = a cdot d - b cdot c
Vamos substituir os valores:
det(A) = ( 72 ) cdot ( 45 ) - ( -34 ) cdot ( 15 )

Passo 4

Vamos calcular cada parte:
( 72 ) cdot ( 45 ) = 2810 = 145
( -34 ) cdot ( 15 ) = -320
Agora, somando os dois resultados:
det(A) = 145 - ( -320 ) = 145 + 320 = 5620 + 320 = 5920

Passo 5

Como o determinante det(A) = 5920 é diferente de zero, a matriz inversa existe. Agora, vamos aplicar a fórmula da inversa:
A^-1 = 15920 45 & 34 -15 & 72
Simplificando o fator 15920 :
15920 = 2059
Então:
A^-1 = 2059 45 & 34 -15 & 72

Passo 6

Agora, multiplicamos cada elemento da matriz pelo fator 2059 :
A^-1 = 2059 cdot 45 & 2059 cdot 34 2059 cdot ( -15 ) & 2059 cdot 72
Calculando cada elemento:
A^-1 = 80295 & 60236 -20295 & 140118
Simplificando as frações:
A^-1 = 1659 & 1559 -459 & 7059

Resposta

A matriz inversa de A é:
A^-1 = 1659 & 1559 -459 & 7059

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