Determinação da inversa do quadrado de uma matriz Nos Exercícios 37-40, calcule A^-2 de duas maneiras diferentes e mostre que os resultados são iguais.
A=[rr0 & -2 -1 & 3]

Passo 1

O enunciado pede o cálculo de A^-2 de duas formas: invertendo primeiro o quadrado de A, ou elevando ao quadrado a inversa de A. O conteúdo necessário é multiplicação de matrizes 2times2 e a fórmula da inversa de uma matriz 2times2.

Passo 2

Vamos começar calculando
A^2 = A cdot A
com
A = 0 & -2[4pt] -1 & 3
Multiplicando linhas por colunas, achamos
A^2 = 0cdot0 + (-2)cdot(-1) & 0cdot(-2) + (-2)cdot3[4pt] (-1)cdot0 + 3cdot(-1) & (-1)cdot(-2) + 3cdot3 = 2 & -6[4pt] -3 & 11 ]

Passo 3

Agora inversamos A^2. Para
M = a & b[4pt] c & d,
temos
M^-1 = 1ad - bcd & -b[4pt] -c & a
No nosso caso a=2, b=-6, c=-3, d=11, logo
det(A^2)=2cdot11 - (-6)cdot(-3)=22-18=4
e
(A^2)^-1 = 14 11 & 6[4pt] 3 & 2 = 114 & 32[6pt] 34 & 12 ]

Passo 4

Agora achamos A^-1. Para
A = 0 & -2[4pt] -1 & 3,
o determinante é
det(A)=0cdot3 - (-2)cdot(-1)= -2
e a adjunta é
3 & 2[4pt]1 & 0
Logo
A^-1 = 1-23 & 2[4pt]1 & 0 = -tfrac32 & -1[4pt] -tfrac12 & 0 ]

Passo 5

Elevando essa inversa ao quadrado:
(A^-1)^2 = A^-1cdot A^-1
Fazendo a multiplicação, obtemos
(A^-1)^2 = -tfrac32 & -1[4pt] -tfrac12 & 0 -tfrac32 & -1[4pt] -tfrac12 & 0 = 114 & 32[6pt] 34 & 12 ]

Passo 6

Comparando
(A^2)^-1 = tfrac114&tfrac32[4pt]tfrac34&tfrac12
com
(A^-1)^2 = tfrac114&tfrac32[4pt]tfrac34&tfrac12,
vemos que coincidem, como era de se esperar.]

Resposta

A^-2 = 114 & 32[6pt] 34 & 12 ]

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